Номер 5.12, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.12, страница 120.

Условие.

5.12 Найдите критические точки функции:

a) $y = \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}x$;

б) $y = 2 \sin x + \sqrt{2}x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Критические точки функции — это внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

а) Для функции $y = \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}x$ область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Найдем её производную:
$y' = (\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}x)' = -\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Производная определена на всей числовой оси, поэтому критические точки могут быть только там, где производная равна нулю (стационарные точки). Решим уравнение $y' = 0$:
$-\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Общее решение этого тригонометрического уравнения:
$x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для функции $y = 2 \sin x + \sqrt{2}x$ область определения также все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Найдем её производную:
$y' = (2 \sin x + \sqrt{2}x)' = 2 \cos x + \sqrt{2}$.
Производная определена для всех действительных $x$, поэтому ищем точки, в которых $y'=0$:
$2 \cos x + \sqrt{2} = 0$
$2 \cos x = -\sqrt{2}$
$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Общее решение этого тригонометрического уравнения:
$x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.