Номер 5.14, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.14, страница 120.

Условие.

5.14* Найдите максимум и минимум функции $y = \frac{x^4}{4} - 2x^2$ на:

а) отрезке [-2; 2];

б) интервале (-2; 2);

в) полуинтервале (-2; 2];

г) полуинтервале [-2; 2).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения максимума и минимума функции $y = \frac{x^4}{4} - 2x^2$ на заданных промежутках, сначала найдем ее производную и критические точки.

1. Находим производную функции:

$y'(x) = (\frac{x^4}{4} - 2x^2)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 2 \cdot 2x = x^3 - 4x$.

2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$y'(x) = 0 \Rightarrow x^3 - 4x = 0$

$x(x^2 - 4) = 0$

$x(x-2)(x+2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

3. Определим знаки производной на интервалах, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции.

Производная $y'(x) = x(x-2)(x+2)$ меняет знак в точках -2, 0, 2.

• При $x \in (-\infty; -2)$, $y'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-2; 0)$, $y'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0; 2)$, $y'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (2; +\infty)$, $y'(x) > 0$, функция возрастает.

Таким образом, $x=-2$ и $x=2$ являются точками локального минимума, а $x=0$ — точкой локального максимума.

4. Вычислим значения функции в этих критических точках:

$y(0) = \frac{0^4}{4} - 2(0)^2 = 0$

$y(2) = \frac{2^4}{4} - 2(2)^2 = \frac{16}{4} - 8 = 4 - 8 = -4$

$y(-2) = \frac{(-2)^4}{4} - 2(-2)^2 = \frac{16}{4} - 8 = 4 - 8 = -4$

Теперь рассмотрим каждый из заданных промежутков.

а) отрезке [-2; 2]

На отрезке [-2; 2] находятся все три критические точки: -2, 0, 2. Значения функции на концах отрезка (которые совпадают с критическими точками) и в критической точке внутри него: $y(-2) = -4$, $y(2) = -4$, $y(0) = 0$.

Сравнивая эти значения, находим наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Максимум функции: $y_{max} = y(0) = 0$.

Минимум функции: $y_{min} = y(-2) = y(2) = -4$.

Ответ: максимум функции равен 0, минимум функции равен -4.

б) интервале (-2; 2)

На открытом интервале (-2; 2) находится одна критическая точка $x=0$. В этой точке функция имеет локальный максимум $y(0)=0$. Поскольку на интервале $(-2; 0)$ функция возрастает, а на $(0; 2)$ убывает, это значение является максимумом на всем интервале $(-2; 2)$.

Для нахождения минимума рассмотрим поведение функции на границах интервала. При $x \to -2^+$ и $x \to 2^-$, значение функции стремится к -4: $\lim_{x \to -2^+} y(x) = -4$ и $\lim_{x \to 2^-} y(x) = -4$. Однако, поскольку точки $x=-2$ и $x=2$ не принадлежат интервалу, значение -4 никогда не достигается. Следовательно, наименьшего значения (минимума) у функции на этом интервале нет.

Ответ: максимум функции равен 0, минимума не существует.

в) полуинтервале (-2; 2]

На полуинтервале (-2; 2] находятся критические точки $x=0$ и $x=2$. Значения функции в этих точках: $y(0)=0$ и $y(2)=-4$.

Максимум функции достигается в точке локального максимума $x=0$ и равен $y(0)=0$.

Минимум функции достигается в точке $x=2$ и равен $y(2)=-4$. Хотя при $x \to -2^+$ функция также стремится к -4, это значение достигается на правом конце рассматриваемого полуинтервала.

Ответ: максимум функции равен 0, минимум функции равен -4.

г) полуинтервале [-2; 2)

На полуинтервале [-2; 2) находятся критические точки $x=-2$ и $x=0$. Значения функции в этих точках: $y(-2)=-4$ и $y(0)=0$.

Максимум функции достигается в точке локального максимума $x=0$ и равен $y(0)=0$.

Минимум функции достигается в точке $x=-2$ и равен $y(-2)=-4$. Хотя при $x \to 2^-$ функция также стремится к -4, это значение достигается на левом конце рассматриваемого полуинтервала.

Ответ: максимум функции равен 0, минимум функции равен -4.