Номер 5.14, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.14, страница 120.
№5.14 (с. 120)
Условие. №5.14 (с. 120)
скриншот условия

5.14* Найдите максимум и минимум функции $y = \frac{x^4}{4} - 2x^2$ на:
а) отрезке [-2; 2];
б) интервале (-2; 2);
в) полуинтервале (-2; 2];
г) полуинтервале [-2; 2).
Решение 1. №5.14 (с. 120)




Решение 2. №5.14 (с. 120)


Решение 3. №5.14 (с. 120)


Решение 4. №5.14 (с. 120)
Для нахождения максимума и минимума функции $y = \frac{x^4}{4} - 2x^2$ на заданных промежутках, сначала найдем ее производную и критические точки.
1. Находим производную функции:
$y'(x) = (\frac{x^4}{4} - 2x^2)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 2 \cdot 2x = x^3 - 4x$.
2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:
$y'(x) = 0 \Rightarrow x^3 - 4x = 0$
$x(x^2 - 4) = 0$
$x(x-2)(x+2) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.
3. Определим знаки производной на интервалах, чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции.
Производная $y'(x) = x(x-2)(x+2)$ меняет знак в точках -2, 0, 2.
- При $x \in (-\infty; -2)$, $y'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-2; 0)$, $y'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (0; 2)$, $y'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (2; +\infty)$, $y'(x) > 0$, функция возрастает.
Таким образом, $x=-2$ и $x=2$ являются точками локального минимума, а $x=0$ — точкой локального максимума.
4. Вычислим значения функции в этих критических точках:
$y(0) = \frac{0^4}{4} - 2(0)^2 = 0$
$y(2) = \frac{2^4}{4} - 2(2)^2 = \frac{16}{4} - 8 = 4 - 8 = -4$
$y(-2) = \frac{(-2)^4}{4} - 2(-2)^2 = \frac{16}{4} - 8 = 4 - 8 = -4$
Теперь рассмотрим каждый из заданных промежутков.
а) отрезке [-2; 2]
На отрезке [-2; 2] находятся все три критические точки: -2, 0, 2. Значения функции на концах отрезка (которые совпадают с критическими точками) и в критической точке внутри него: $y(-2) = -4$, $y(2) = -4$, $y(0) = 0$.
Сравнивая эти значения, находим наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Максимум функции: $y_{max} = y(0) = 0$.
Минимум функции: $y_{min} = y(-2) = y(2) = -4$.
Ответ: максимум функции равен 0, минимум функции равен -4.
б) интервале (-2; 2)
На открытом интервале (-2; 2) находится одна критическая точка $x=0$. В этой точке функция имеет локальный максимум $y(0)=0$. Поскольку на интервале $(-2; 0)$ функция возрастает, а на $(0; 2)$ убывает, это значение является максимумом на всем интервале $(-2; 2)$.
Для нахождения минимума рассмотрим поведение функции на границах интервала. При $x \to -2^+$ и $x \to 2^-$, значение функции стремится к -4: $\lim_{x \to -2^+} y(x) = -4$ и $\lim_{x \to 2^-} y(x) = -4$. Однако, поскольку точки $x=-2$ и $x=2$ не принадлежат интервалу, значение -4 никогда не достигается. Следовательно, наименьшего значения (минимума) у функции на этом интервале нет.
Ответ: максимум функции равен 0, минимума не существует.
в) полуинтервале (-2; 2]
На полуинтервале (-2; 2] находятся критические точки $x=0$ и $x=2$. Значения функции в этих точках: $y(0)=0$ и $y(2)=-4$.
Максимум функции достигается в точке локального максимума $x=0$ и равен $y(0)=0$.
Минимум функции достигается в точке $x=2$ и равен $y(2)=-4$. Хотя при $x \to -2^+$ функция также стремится к -4, это значение достигается на правом конце рассматриваемого полуинтервала.
Ответ: максимум функции равен 0, минимум функции равен -4.
г) полуинтервале [-2; 2)
На полуинтервале [-2; 2) находятся критические точки $x=-2$ и $x=0$. Значения функции в этих точках: $y(-2)=-4$ и $y(0)=0$.
Максимум функции достигается в точке локального максимума $x=0$ и равен $y(0)=0$.
Минимум функции достигается в точке $x=-2$ и равен $y(-2)=-4$. Хотя при $x \to 2^-$ функция также стремится к -4, это значение достигается на левом конце рассматриваемого полуинтервала.
Ответ: максимум функции равен 0, минимум функции равен -4.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.14 расположенного на странице 120 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.14 (с. 120), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.