Номер 5.10, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.10, страница 120.
№5.10 (с. 120)
Условие. №5.10 (с. 120)
скриншот условия

Найдите максимум и минимум функции $y = f(x)$ на указанном отрезке, если (5.10–5.11):
5.10 а) $y = x^3 - 3x^2$, $[-1; 3];$
б) $y = x^3 + 3x$, $[-1; 2];$
в) $y = 2x^3 - 6x^2 + 9$, $[-2; 2];$
г) $y = x^3 - 3x$, $[-2; 3].$
Решение 1. №5.10 (с. 120)




Решение 2. №5.10 (с. 120)



Решение 4. №5.10 (с. 120)
а) $y = x^3 - 3x^2$, $[-1; 3]$
Чтобы найти максимум и минимум функции на отрезке, нужно найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.
1. Найдем производную функции:
$y' = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 - 6x = 0$
$3x(x - 2) = 0$
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
3. Обе критические точки принадлежат отрезку $[-1; 3]$.
4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 = -1 - 3 = -4$
$y(0) = 0^3 - 3(0)^2 = 0$
$y(2) = 2^3 - 3(2)^2 = 8 - 12 = -4$
$y(3) = 3^3 - 3(3)^2 = 27 - 27 = 0$
5. Сравнивая полученные значения $\{-4, 0, -4, 0\}$, находим, что максимальное значение функции на отрезке равно 0, а минимальное равно -4.
Ответ: $y_{max} = 0$, $y_{min} = -4$.
б) $y = x^3 + 3x$, $[-1; 2]$
1. Найдем производную функции:
$y' = (x^3 + 3x)' = 3x^2 + 3$.
2. Найдем критические точки:
$3x^2 + 3 = 0$
$3x^2 = -3$
$x^2 = -1$
Это уравнение не имеет действительных корней, следовательно, у функции нет критических точек.
3. Вычислим значения функции на концах отрезка $[-1; 2]$:
$y(-1) = (-1)^3 + 3(-1) = -1 - 3 = -4$
$y(2) = 2^3 + 3(2) = 8 + 6 = 14$
4. Так как производная $y' = 3x^2 + 3$ всегда положительна ($y' > 0$), функция является возрастающей на всей числовой прямой. Поэтому наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Ответ: $y_{max} = 14$, $y_{min} = -4$.
в) $y = 2x^3 - 6x^2 + 9$, $[-2; 2]$
1. Найдем производную функции:
$y' = (2x^3 - 6x^2 + 9)' = 6x^2 - 12x$.
2. Найдем критические точки:
$6x^2 - 12x = 0$
$6x(x - 2) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
3. Обе критические точки принадлежат отрезку $[-2; 2]$ (точка $x=2$ является его концом).
4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$y(-2) = 2(-2)^3 - 6(-2)^2 + 9 = 2(-8) - 6(4) + 9 = -16 - 24 + 9 = -31$
$y(0) = 2(0)^3 - 6(0)^2 + 9 = 9$
$y(2) = 2(2)^3 - 6(2)^2 + 9 = 2(8) - 6(4) + 9 = 16 - 24 + 9 = 1$
5. Сравнивая полученные значения $\{-31, 9, 1\}$, находим, что максимальное значение равно 9, а минимальное равно -31.
Ответ: $y_{max} = 9$, $y_{min} = -31$.
г) $y = x^3 - 3x$, $[-2; 3]$
1. Найдем производную функции:
$y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.
2. Найдем критические точки:
$3x^2 - 3 = 0$
$3(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Критические точки: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.
3. Обе критические точки принадлежат отрезку $[-2; 3]$.
4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$y(-2) = (-2)^3 - 3(-2) = -8 + 6 = -2$
$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$
$y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$
$y(3) = 3^3 - 3(3) = 27 - 9 = 18$
5. Сравнивая полученные значения $\{-2, 2, -2, 18\}$, находим, что максимальное значение равно 18, а минимальное равно -2.
Ответ: $y_{max} = 18$, $y_{min} = -2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.10 расположенного на странице 120 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.10 (с. 120), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.