Номер 5.10, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.10, страница 120.

Условие.

Найдите максимум и минимум функции $y = f(x)$ на указанном отрезке, если (5.10–5.11):

5.10 а) $y = x^3 - 3x^2$, $[-1; 3];$

б) $y = x^3 + 3x$, $[-1; 2];$

в) $y = 2x^3 - 6x^2 + 9$, $[-2; 2];$

г) $y = x^3 - 3x$, $[-2; 3].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $y = x^3 - 3x^2$, $[-1; 3]$

Чтобы найти максимум и минимум функции на отрезке, нужно найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

3. Обе критические точки принадлежат отрезку $[-1; 3]$.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 = -1 - 3 = -4$

$y(0) = 0^3 - 3(0)^2 = 0$

$y(2) = 2^3 - 3(2)^2 = 8 - 12 = -4$

$y(3) = 3^3 - 3(3)^2 = 27 - 27 = 0$

5. Сравнивая полученные значения $\{-4, 0, -4, 0\}$, находим, что максимальное значение функции на отрезке равно 0, а минимальное равно -4.

Ответ: $y_{max} = 0$, $y_{min} = -4$.

б) $y = x^3 + 3x$, $[-1; 2]$

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 + 3x)' = 3x^2 + 3$.

2. Найдем критические точки:

$3x^2 + 3 = 0$

$3x^2 = -3$

$x^2 = -1$

Это уравнение не имеет действительных корней, следовательно, у функции нет критических точек.

3. Вычислим значения функции на концах отрезка $[-1; 2]$:

$y(-1) = (-1)^3 + 3(-1) = -1 - 3 = -4$

$y(2) = 2^3 + 3(2) = 8 + 6 = 14$

4. Так как производная $y' = 3x^2 + 3$ всегда положительна ($y' > 0$), функция является возрастающей на всей числовой прямой. Поэтому наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Ответ: $y_{max} = 14$, $y_{min} = -4$.

в) $y = 2x^3 - 6x^2 + 9$, $[-2; 2]$

1. Найдем производную функции:

$y' = (2x^3 - 6x^2 + 9)' = 6x^2 - 12x$.

2. Найдем критические точки:

$6x^2 - 12x = 0$

$6x(x - 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

3. Обе критические точки принадлежат отрезку $[-2; 2]$ (точка $x=2$ является его концом).

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$y(-2) = 2(-2)^3 - 6(-2)^2 + 9 = 2(-8) - 6(4) + 9 = -16 - 24 + 9 = -31$

$y(0) = 2(0)^3 - 6(0)^2 + 9 = 9$

$y(2) = 2(2)^3 - 6(2)^2 + 9 = 2(8) - 6(4) + 9 = 16 - 24 + 9 = 1$

5. Сравнивая полученные значения $\{-31, 9, 1\}$, находим, что максимальное значение равно 9, а минимальное равно -31.

Ответ: $y_{max} = 9$, $y_{min} = -31$.

г) $y = x^3 - 3x$, $[-2; 3]$

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.

2. Найдем критические точки:

$3x^2 - 3 = 0$

$3(x^2 - 1) = 0$

$x^2 = 1$

Критические точки: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

3. Обе критические точки принадлежат отрезку $[-2; 3]$.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$y(-2) = (-2)^3 - 3(-2) = -8 + 6 = -2$

$y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$

$y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$

$y(3) = 3^3 - 3(3) = 27 - 9 = 18$

5. Сравнивая полученные значения $\{-2, 2, -2, 18\}$, находим, что максимальное значение равно 18, а минимальное равно -2.

Ответ: $y_{max} = 18$, $y_{min} = -2$.