Номер 5.9, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.9, страница 120.

Условие.

5.9* a) $y = e^{x^2} - ex^2$, $[-e; e]$

Б) $y = e^{x^2 - 2x}$, $[-\pi, \pi]$

В) $y = \frac{\ln x}{x}$, $(0; \pi]$

Г) $y = \frac{e^x}{1 + x}$, $(-1; \pi]$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = e^x x^2 - ex^2$, $[-e; e]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, найдем ее значения в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на концах отрезка. Наибольшее из этих значений будет наибольшим значением функции, а наименьшее — наименьшим.

1. Найдем производную функции. Удобнее представить функцию в виде $y = x^2(e^x - e)$.

Используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$, получаем:

$y' = (x^2)'(e^x - e) + x^2(e^x - e)' = 2x(e^x - e) + x^2(e^x) = 2xe^x - 2ex + x^2e^x = x(xe^x + 2e^x - 2e)$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$x(e^x(x+2) - 2e) = 0$.

Отсюда следует, что либо $x=0$, либо $e^x(x+2) - 2e = 0$.

Первая критическая точка: $x_1 = 0$. Эта точка принадлежит отрезку $[-e; e]$.

Рассмотрим второе уравнение: $e^x(x+2) = 2e$. Пусть $g(x) = e^x(x+2)$. Заметим, что $g(0) = e^0(0+2) = 2$, а $g(1) = e^1(1+2) = 3e$. Так как $2e \approx 5.436$, то $g(0) < 2e < g(1)$. Поскольку функция $g(x)$ непрерывна, существует корень $x_2$ этого уравнения на интервале $(0, 1)$. Эта точка также принадлежит отрезку $[-e; e]$.

3. Определим знак производной на интервалах. Знак $y'$ совпадает со знаком выражения $x(e^x(x+2) - 2e)$.

• При $x \in [-e, 0)$: $x < 0$. Для $g(x)=e^x(x+2)$, ее производная $g'(x) = e^x(x+3)$ положительна на $[-e, 0)$, значит $g(x)$ возрастает. $g(-e) = e^{-e}(-e+2) < 2e$. Значит, $g(x)-2e < 0$. Тогда $y' = (\text{отр.}) \cdot (\text{отр.}) > 0$, функция возрастает.

• При $x \in (0, x_2)$: $x > 0$ и $g(x) < 2e$, поэтому $g(x)-2e < 0$. Тогда $y' = (\text{пол.}) \cdot (\text{отр.}) < 0$, функция убывает.

• При $x \in (x_2, e]$: $x > 0$ и $g(x) > 2e$, поэтому $g(x)-2e > 0$. Тогда $y' = (\text{пол.}) \cdot (\text{пол.}) > 0$, функция возрастает.

Следовательно, в точке $x=0$ находится локальный максимум, а в точке $x=x_2$ — локальный минимум.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$y(0) = 0^2(e^0 - e) = 0$.

$y(-e) = (-e)^2(e^{-e} - e) = e^2(e^{-e} - e) = e^{2-e} - e^3$.

$y(e) = e^2(e^e - e) = e^{e+2} - e^3$.

Значение в точке $x_2$ является локальным минимумом и оно будет отрицательным, но так как $x_2 \in (0,1)$, это значение по модулю невелико. $y(x_2) = x_2^2(e^{x_2}-e)$.

5. Сравним полученные значения. Так как $e \approx 2.718$, то $e+2 \approx 4.718$, и $y(e) = e^{e+2} - e^3$ — большое положительное число. Это очевидно наибольшее значение.

Сравним $y(-e)$ и $y(0)$. $y(-e) = e^{2-e} - e^3 \approx e^{-0.718} - (2.718)^3 \approx 0.488 - 20.08 = -19.59$. Это значение отрицательно и значительно меньше нуля. Также оно меньше, чем локальный минимум $y(x_2)$, который близок к нулю. Следовательно, $y(-e)$ — наименьшее значение.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{наиб} = e^{e+2} - e^3$, наименьшее значение функции $y_{наим} = e^{2-e} - e^3$.

б) $y = e^{x^2-2x}$, $[-\pi, \pi]$

1. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции: $(e^u)'=e^u \cdot u'$.

$y' = (e^{x^2-2x})' = e^{x^2-2x} \cdot (x^2-2x)' = e^{x^2-2x} \cdot (2x - 2)$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$e^{x^2-2x} \cdot (2x - 2) = 0$.

Так как множитель $e^{x^2-2x}$ всегда положителен, то уравнение сводится к $2x - 2 = 0$, откуда $x = 1$.

3. Критическая точка $x=1$ принадлежит заданному отрезку $[-\pi, \pi]$, так как $-\pi \approx -3.14$ и $\pi \approx 3.14$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=1$ и на концах отрезка $x=-\pi$ и $x=\pi$:

$y(1) = e^{1^2 - 2 \cdot 1} = e^{1-2} = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

$y(-\pi) = e^{(-\pi)^2 - 2(-\pi)} = e^{\pi^2 + 2\pi}$.

$y(\pi) = e^{\pi^2 - 2\pi}$.

5. Сравним полученные значения. Поскольку функция $f(t)=e^t$ является возрастающей, для сравнения значений достаточно сравнить показатели степени: $-1$, $\pi^2+2\pi$ и $\pi^2-2\pi$.

Поскольку $\pi > 1$, то $\pi^2 > 1$. Также $\pi^2-2\pi = \pi(\pi-2) > 0$.
$-1 < \pi^2-2\pi < \pi^2+2\pi$.

Наименьший показатель степени равен $-1$, следовательно, наименьшее значение функции $y_{наим} = y(1) = e^{-1}$.

Наибольший показатель степени равен $\pi^2 + 2\pi$, следовательно, наибольшее значение функции $y_{наиб} = y(-\pi) = e^{\pi^2 + 2\pi}$.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{наиб} = e^{\pi^2 + 2\pi}$, наименьшее значение функции $y_{наим} = e^{-1}$.

в) $y = \frac{\ln x}{x}$, $(0; \pi]$

1. Область определения функции $x > 0$. Интервал $(0, \pi]$ входит в область определения.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$y' = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.

3. Найдем критические точки из условия $y' = 0$:

$\frac{1 - \ln x}{x^2} = 0 \implies 1 - \ln x = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e$.

4. Критическая точка $x=e$ принадлежит интервалу $(0, \pi]$, так как $e \approx 2.718$ и $\pi \approx 3.14$.

5. Исследуем знак производной. Так как $x^2 > 0$, знак $y'$ определяется знаком числителя $1-\ln x$.

• При $0 < x < e$, $\ln x < 1$, $y' > 0$, функция возрастает.

• При $x > e$, $\ln x > 1$, $y' < 0$, функция убывает.

Следовательно, в точке $x=e$ функция достигает максимума.

6. Найдем значение функции в точке максимума $x=e$ и на правом конце интервала $x=\pi$. Также рассмотрим поведение функции на левом конце интервала, найдя предел при $x \to 0^+$.

$y(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}$.

$y(\pi) = \frac{\ln \pi}{\pi}$.

$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = \frac{-\infty}{0^+} = -\infty$.

7. Так как функция возрастает до $x=e$ и затем убывает, то $y(e)=\frac{1}{e}$ является наибольшим значением функции на данном интервале. Поскольку предел функции при $x \to 0^+$ равен $-\infty$, функция не ограничена снизу, и наименьшего значения не существует.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{наиб} = \frac{1}{e}$, наименьшее значение не существует.

г) $y = \frac{e^x}{1+x}$, $(-1; \pi]$

1. Область определения функции $x \neq -1$. Интервал $(-1, \pi]$ входит в область определения.

2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного:

$y' = \frac{(e^x)'(1+x) - e^x(1+x)'}{(1+x)^2} = \frac{e^x(1+x) - e^x \cdot 1}{(1+x)^2} = \frac{e^x + xe^x - e^x}{(1+x)^2} = \frac{xe^x}{(1+x)^2}$.

3. Найдем критические точки из условия $y' = 0$:

$\frac{xe^x}{(1+x)^2} = 0$.

Так как $e^x > 0$ и $(1+x)^2 > 0$ на интервале $(-1, \pi]$, то $x=0$.

4. Критическая точка $x=0$ принадлежит интервалу $(-1, \pi]$.

5. Исследуем знак производной. Знак $y'$ определяется знаком множителя $x$.

• При $-1 < x < 0$, $y' < 0$, функция убывает.

• При $x > 0$, $y' > 0$, функция возрастает.

Следовательно, в точке $x=0$ функция достигает минимума.

6. Найдем значение функции в точке минимума $x=0$ и на правом конце интервала $x=\pi$. Также рассмотрим поведение функции на левом конце интервала, найдя предел при $x \to -1^+$.

$y(0) = \frac{e^0}{1+0} = 1$.

$y(\pi) = \frac{e^\pi}{1+\pi}$.

$\lim_{x \to -1^+} \frac{e^x}{1+x} = \frac{e^{-1}}{0^+} = +\infty$.

7. Так как функция убывает до $x=0$ и затем возрастает, то $y(0)=1$ является наименьшим значением функции на данном интервале. Поскольку предел функции при $x \to -1^+$ равен $+\infty$, функция не ограничена сверху, и наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{наим} = 1$, наибольшее значение не существует.