Номер 5.19, страница 123 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.19, страница 123.

Условие.

Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, если (5.19–5.30):

5.19 $f(x) = x^2$.

а) $x_0 = 0$;

б) $x_0 = 1$;

в) $x_0 = 2$;

г) $x_0 = -1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В данной задаче нам дана функция $f(x) = x^2$.

Сначала найдем производную этой функции: $f'(x) = (x^2)' = 2x$.

Теперь мы можем найти уравнения касательных для каждой из указанных точек $x_0$.

а) $x_0 = 0$;

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = 0$:
$f(x_0) = f(0) = 0^2 = 0$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$ (это угловой коэффициент касательной):
$f'(x_0) = f'(0) = 2 \cdot 0 = 0$.

3. Подставим значения $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в формулу уравнения касательной:
$y = f(0) + f'(0)(x - 0)$
$y = 0 + 0 \cdot (x - 0)$
$y = 0$.

Ответ: $y = 0$.

б) $x_0 = 1$;

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(x_0) = f(1) = 1^2 = 1$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(x_0) = f'(1) = 2 \cdot 1 = 2$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$
$y = 1 + 2(x - 1)$
$y = 1 + 2x - 2$
$y = 2x - 1$.

Ответ: $y = 2x - 1$.

в) $x_0 = 2$;

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = 2$:
$f(x_0) = f(2) = 2^2 = 4$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:
$f'(x_0) = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(2) + f'(2)(x - 2)$
$y = 4 + 4(x - 2)$
$y = 4 + 4x - 8$
$y = 4x - 4$.

Ответ: $y = 4x - 4$.

г) $x_0 = -1$.

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = -1$:
$f(x_0) = f(-1) = (-1)^2 = 1$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:
$f'(x_0) = f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2$.

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1))$$
$y = 1 + (-2)(x + 1)$
$y = 1 - 2x - 2$
$y = -2x - 1$.

Ответ: $y = -2x - 1$.