Номер 5.26, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.26, страница 124.

Условие.

5.26 $f(x) = \ln x.$

а) $x_0 = 1;$

б) $x_0 = 2;$

в) $x_0 = 3;$

г) $x_0 = e.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения задачи найдем уравнения касательных к графику функции $f(x) = \ln x$ в каждой из заданных точек $x_0$. Уравнение касательной в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Производная данной функции: $f'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

а) Для точки $x_0 = 1$.

Вычислим значение функции и ее производной в точке $x_0 = 1$:

$f(x_0) = f(1) = \ln(1) = 0$

$f'(x_0) = f'(1) = \frac{1}{1} = 1$

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = 0 + 1 \cdot (x - 1)$

Упрощая, получаем уравнение касательной:

$y = x - 1$

Ответ: $y = x - 1$.

б) Для точки $x_0 = 2$.

Вычислим значение функции и ее производной в точке $x_0 = 2$:

$f(x_0) = f(2) = \ln(2)$

$f'(x_0) = f'(2) = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = \ln(2) + \frac{1}{2}(x - 2)$

Упрощая, получаем уравнение касательной:

$y = \ln(2) + \frac{1}{2}x - 1$

$y = \frac{1}{2}x + \ln 2 - 1$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \ln 2 - 1$.

в) Для точки $x_0 = 3$.

Вычислим значение функции и ее производной в точке $x_0 = 3$:

$f(x_0) = f(3) = \ln(3)$

$f'(x_0) = f'(3) = \frac{1}{3}$

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = \ln(3) + \frac{1}{3}(x - 3)$

Упрощая, получаем уравнение касательной:

$y = \ln(3) + \frac{1}{3}x - 1$

$y = \frac{1}{3}x + \ln 3 - 1$

Ответ: $y = \frac{1}{3}x + \ln 3 - 1$.

г) Для точки $x_0 = e$.

Вычислим значение функции и ее производной в точке $x_0 = e$:

$f(x_0) = f(e) = \ln(e) = 1$

$f'(x_0) = f'(e) = \frac{1}{e}$

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{1}{e}(x - e)$

Упрощая, получаем уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{1}{e}x - \frac{e}{e}$

$y = 1 + \frac{1}{e}x - 1$

$y = \frac{1}{e}x$

Ответ: $y = \frac{1}{e}x$.