Номер 5.31, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.31, страница 124.

Условие.

5.31 В каких точках касательная к графику функции $y = f(x)$ параллельна оси $Ox$, если:

а) $f(x) = x^2 + 4x - 12;$

б) $f(x) = 3x^2 - 12x + 11;$

в) $f(x) = x^3 - 12x^2 + 36x - 1;$

г) $f(x) = 2x^3 + 6x^2 - 7?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Касательная к графику функции $y = f(x)$ параллельна оси $Ox$ в тех точках, где производная функции равна нулю. Это связано с тем, что значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, а для прямой, параллельной оси $Ox$, этот коэффициент равен нулю. Таким образом, для нахождения искомых точек нужно найти абсциссы $x$, решив уравнение $f'(x)=0$, а затем найти соответствующие ординаты $y=f(x)$.

а) $f(x) = x^2 + 4x - 12$

Находим производную функции:$f'(x) = (x^2 + 4x - 12)' = 2x + 4$.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение относительно $x$:
$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$.

Находим соответствующее значение $y$, подставив $x = -2$ в исходную функцию:
$y = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 12 = 4 - 8 - 12 = -16$.

Таким образом, касательная к графику параллельна оси $Ox$ в точке $(-2, -16)$.

Ответ: $(-2, -16)$.

б) $f(x) = 3x^2 - 12x + 11$

Находим производную функции:$f'(x) = (3x^2 - 12x + 11)' = 6x - 12$.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
$6x - 12 = 0$
$6x = 12$
$x = 2$.

Находим соответствующее значение $y$, подставив $x = 2$ в исходную функцию:
$y = f(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 11 = 3 \cdot 4 - 24 + 11 = 12 - 24 + 11 = -1$.

Таким образом, касательная к графику параллельна оси $Ox$ в точке $(2, -1)$.

Ответ: $(2, -1)$.

в) $f(x) = x^3 - 12x^2 + 36x - 1$

Находим производную функции:$f'(x) = (x^3 - 12x^2 + 36x - 1)' = 3x^2 - 24x + 36$.

Приравниваем производную к нулю и решаем квадратное уравнение:
$3x^2 - 24x + 36 = 0$
Разделим обе части на 3 для упрощения:
$x^2 - 8x + 12 = 0$
Корни уравнения можно найти по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$, $x_1 \cdot x_2 = 12$. Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

Находим соответствующие значения $y$ для каждого корня:
Для $x_1 = 2$:
$y_1 = f(2) = 2^3 - 12(2^2) + 36(2) - 1 = 8 - 12 \cdot 4 + 72 - 1 = 8 - 48 + 72 - 1 = 31$.
Для $x_2 = 6$:
$y_2 = f(6) = 6^3 - 12(6^2) + 36(6) - 1 = 216 - 12 \cdot 36 + 216 - 1 = 216 - 432 + 216 - 1 = -1$.

Таким образом, касательная к графику параллельна оси $Ox$ в точках $(2, 31)$ и $(6, -1)$.

Ответ: $(2, 31)$, $(6, -1)$.

г) $f(x) = 2x^3 + 6x^2 - 7$

Находим производную функции:$f'(x) = (2x^3 + 6x^2 - 7)' = 6x^2 + 12x$.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
$6x^2 + 12x = 0$
Выносим общий множитель $6x$ за скобки:
$6x(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $x_1 = 0$ или $x_2 = -2$.

Находим соответствующие значения $y$ для каждого корня:
Для $x_1 = 0$:
$y_1 = f(0) = 2(0)^3 + 6(0)^2 - 7 = -7$.
Для $x_2 = -2$:
$y_2 = f(-2) = 2(-2)^3 + 6(-2)^2 - 7 = 2(-8) + 6(4) - 7 = -16 + 24 - 7 = 1$.

Таким образом, касательная к графику параллельна оси $Ox$ в точках $(0, -7)$ и $(-2, 1)$.

Ответ: $(0, -7)$, $(-2, 1)$.