Номер 5.37, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.37, страница 126.
№5.37 (с. 126)
Условие. №5.37 (с. 126)
скриншот условия

5.37 Напишите формулу для приближённого вычисления значения функции $f(x)$ в точке $x_0 + \Delta x$.
Решение 1. №5.37 (с. 126)

Решение 2. №5.37 (с. 126)

Решение 4. №5.37 (с. 126)
Формула для приближенного вычисления значения функции $f(x)$ в точке $x_0 + \Delta x$ выводится из определения производной функции в точке $x_0$.
По определению, производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ есть предел отношения приращения функции $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда $\Delta x \to 0$: $$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$
Если приращение аргумента $\Delta x$ достаточно мало (но не равно нулю), то можно пренебречь знаком предела и записать приближенное равенство: $$f'(x_0) \approx \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$
Это приближенное равенство лежит в основе применения производной для приближенных вычислений. Из него можно выразить приращение функции $\Delta f$: $$\Delta f \approx f'(x_0) \cdot \Delta x$$ Подставляя $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$, получаем: $$f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \approx f'(x_0) \cdot \Delta x$$
Наконец, выразим из этого соотношения значение функции в точке $x_0 + \Delta x$, перенеся $f(x_0)$ в правую часть: $$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$$
Это и есть искомая формула. Она называется формулой линейного приближения функции, поскольку заменяет вычисление значения самой функции вычислением значения по линейной функции, график которой является касательной к графику $f(x)$ в точке $(x_0, f(x_0))$. Точность приближения тем выше, чем меньше $|\Delta x|$.
Ответ: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.37 расположенного на странице 126 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.37 (с. 126), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.