Номер 5.37, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.37, страница 126.

Условие.

5.37 Напишите формулу для приближённого вычисления значения функции $f(x)$ в точке $x_0 + \Delta x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Формула для приближенного вычисления значения функции $f(x)$ в точке $x_0 + \Delta x$ выводится из определения производной функции в точке $x_0$.

По определению, производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ есть предел отношения приращения функции $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда $\Delta x \to 0$: $$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

Если приращение аргумента $\Delta x$ достаточно мало (но не равно нулю), то можно пренебречь знаком предела и записать приближенное равенство: $$f'(x_0) \approx \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

Это приближенное равенство лежит в основе применения производной для приближенных вычислений. Из него можно выразить приращение функции $\Delta f$: $$\Delta f \approx f'(x_0) \cdot \Delta x$$ Подставляя $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$, получаем: $$f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \approx f'(x_0) \cdot \Delta x$$

Наконец, выразим из этого соотношения значение функции в точке $x_0 + \Delta x$, перенеся $f(x_0)$ в правую часть: $$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$$

Это и есть искомая формула. Она называется формулой линейного приближения функции, поскольку заменяет вычисление значения самой функции вычислением значения по линейной функции, график которой является касательной к графику $f(x)$ в точке $(x_0, f(x_0))$. Точность приближения тем выше, чем меньше $|\Delta x|$.

Ответ: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$