Номер 5.39, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.39, страница 126.

Условие.

5.39 Вычислите приближённо:

а) $5,01^2$;

б) $7,98^2$;

в) $2,99^3$;

г) $\sqrt{24,1}$;

д) $\sqrt{35,98}$;

е) $\sqrt[3]{124}$;

ж) $\sqrt[3]{215}$;

з) $\ln 3$;

и) $1,01^{20}$;

к) $0,98^{20}$;

л) $2,01^{10}$;

м) $1,99^{10}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения всех задач используется формула приближенного вычисления значения функции с помощью ее дифференциала: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$.

а) Вычислим $5,01^2$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$. Выберем точку $x_0 = 5$ и приращение $\Delta x = 5,01 - 5 = 0,01$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(5) = 5^2 = 25$.

Производная функции: $f'(x) = 2x$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(5) = 2 \cdot 5 = 10$.

Подставляем в формулу: $5,01^2 \approx f(5) + f'(5) \cdot 0,01 = 25 + 10 \cdot 0,01 = 25 + 0,1 = 25,1$.

Ответ: $25,1$.

б) Вычислим $7,98^2$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$. Выберем точку $x_0 = 8$ и приращение $\Delta x = 7,98 - 8 = -0,02$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(8) = 8^2 = 64$.

Производная функции: $f'(x) = 2x$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(8) = 2 \cdot 8 = 16$.

Подставляем в формулу: $7,98^2 \approx f(8) + f'(8) \cdot (-0,02) = 64 + 16 \cdot (-0,02) = 64 - 0,32 = 63,68$.

Ответ: $63,68$.

в) Вычислим $2,99^3$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3$. Выберем точку $x_0 = 3$ и приращение $\Delta x = 2,99 - 3 = -0,01$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(3) = 3^3 = 27$.

Производная функции: $f'(x) = 3x^2$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(3) = 3 \cdot 3^2 = 27$.

Подставляем в формулу: $2,99^3 \approx f(3) + f'(3) \cdot (-0,01) = 27 + 27 \cdot (-0,01) = 27 - 0,27 = 26,73$.

Ответ: $26,73$.

г) Вычислим $\sqrt{24,1}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x}$. Выберем точку $x_0 = 25$ и приращение $\Delta x = 24,1 - 25 = -0,9$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(25) = \sqrt{25} = 5$.

Производная функции: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(25) = \frac{1}{2\sqrt{25}} = \frac{1}{10} = 0,1$.

Подставляем в формулу: $\sqrt{24,1} \approx f(25) + f'(25) \cdot (-0,9) = 5 + 0,1 \cdot (-0,9) = 5 - 0,09 = 4,91$.

Ответ: $4,91$.

д) Вычислим $\sqrt{35,98}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x}$. Выберем точку $x_0 = 36$ и приращение $\Delta x = 35,98 - 36 = -0,02$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(36) = \sqrt{36} = 6$.

Производная функции: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(36) = \frac{1}{2\sqrt{36}} = \frac{1}{12}$.

Подставляем в формулу: $\sqrt{35,98} \approx f(36) + f'(36) \cdot (-0,02) = 6 + \frac{1}{12} \cdot (-0,02) = 6 - \frac{0,02}{12} = 6 - \frac{1}{600} \approx 6 - 0,00167 = 5,99833$.

Ответ: $\approx 5,9983$.

е) Вычислим $\sqrt[3]{124}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x}$. Выберем точку $x_0 = 125$ и приращение $\Delta x = 124 - 125 = -1$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(125) = \sqrt[3]{125} = 5$.

Производная функции: $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(125) = \frac{1}{3\sqrt[3]{125^2}} = \frac{1}{3 \cdot 5^2} = \frac{1}{75}$.

Подставляем в формулу: $\sqrt[3]{124} \approx f(125) + f'(125) \cdot (-1) = 5 - \frac{1}{75} \approx 5 - 0,01333 = 4,98667$.

Ответ: $\approx 4,9867$.

ж) Вычислим $\sqrt[3]{215}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x}$. Выберем точку $x_0 = 216$ и приращение $\Delta x = 215 - 216 = -1$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(216) = \sqrt[3]{216} = 6$.

Производная функции: $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(216) = \frac{1}{3\sqrt[3]{216^2}} = \frac{1}{3 \cdot 6^2} = \frac{1}{108}$.

Подставляем в формулу: $\sqrt[3]{215} \approx f(216) + f'(216) \cdot (-1) = 6 - \frac{1}{108} \approx 6 - 0,00926 = 5,99074$.

Ответ: $\approx 5,9907$.

з) Вычислим $\ln 3$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \ln x$. Выберем точку $x_0 = e$ (основание натурального логарифма, $e \approx 2,718$) и приращение $\Delta x = 3 - e$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(e) = \ln e = 1$.

Производная функции: $f'(x) = \frac{1}{x}$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(e) = \frac{1}{e}$.

Подставляем в формулу: $\ln 3 \approx f(e) + f'(e) \cdot (3 - e) = 1 + \frac{1}{e}(3 - e) = 1 + \frac{3}{e} - 1 = \frac{3}{e}$.

Используя $e \approx 2,718$, получаем: $\ln 3 \approx \frac{3}{2,718} \approx 1,1038$.

Ответ: $\approx 1,1038$.

и) Вычислим $1,01^{20}$.

Воспользуемся формулой $(1+x)^\alpha \approx 1+\alpha x$, которая является частным случаем общей формулы при $x_0=0$.

Представим $1,01^{20}$ как $(1+0,01)^{20}$. Здесь $x = 0,01$ и $\alpha = 20$.

$1,01^{20} \approx 1 + 20 \cdot 0,01 = 1 + 0,2 = 1,2$.

Ответ: $1,2$.

к) Вычислим $0,98^{20}$.

Используем ту же формулу $(1+x)^\alpha \approx 1+\alpha x$.

Представим $0,98^{20}$ как $(1-0,02)^{20}$. Здесь $x = -0,02$ и $\alpha = 20$.

$0,98^{20} \approx 1 + 20 \cdot (-0,02) = 1 - 0,4 = 0,6$.

Ответ: $0,6$.

л) Вычислим $2,01^{10}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{10}$. Выберем точку $x_0 = 2$ и приращение $\Delta x = 2,01 - 2 = 0,01$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(2) = 2^{10} = 1024$.

Производная функции: $f'(x) = 10x^9$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(2) = 10 \cdot 2^9 = 10 \cdot 512 = 5120$.

Подставляем в формулу: $2,01^{10} \approx f(2) + f'(2) \cdot 0,01 = 1024 + 5120 \cdot 0,01 = 1024 + 51,2 = 1075,2$.

Ответ: $1075,2$.

м) Вычислим $1,99^{10}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{10}$. Выберем точку $x_0 = 2$ и приращение $\Delta x = 1,99 - 2 = -0,01$.

Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(2) = 2^{10} = 1024$.

Производная функции: $f'(x) = 10x^9$.

Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = f'(2) = 10 \cdot 2^9 = 5120$.

Подставляем в формулу: $1,99^{10} \approx f(2) + f'(2) \cdot (-0,01) = 1024 + 5120 \cdot (-0,01) = 1024 - 51,2 = 972,8$.

Ответ: $972,8$.