Номер 5.33, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.33, страница 124.

Условие.

5.33* Под каким углом пересекает ось $O_y$ график функции в предыдущем задании?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

В вопросе указано, что нужно использовать функцию из предыдущего задания. Поскольку эта функция не предоставлена, для решения задачи возьмем в качестве примера типичную для такого анализа функцию: $y(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 1$.

Угол, под которым график функции пересекает ось $Oy$, определяется как острый угол между касательной к графику в точке пересечения и самой осью $Oy$. Для нахождения этого угла выполним следующие действия.

1. Нахождение точки пересечения графика с осью $Oy$
Пересечение с осью ординат ($Oy$) происходит в точке, где абсцисса $x = 0$. Чтобы найти ординату этой точки, подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 - 1 = -1$.
Таким образом, точка пересечения графика с осью $Oy$ имеет координаты $(0, -1)$.

2. Нахождение углового коэффициента касательной в точке пересечения
Геометрический смысл производной заключается в том, что ее значение в точке касания равно угловому коэффициенту ($k$) касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент, в свою очередь, равен тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси $Ox$.
Сначала найдем производную функции $y(x)$:
$y'(x) = (x^3 - 3x^2 + 5x - 1)' = 3x^2 - 6x + 5$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x = 0$:
$k = y'(0) = 3 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5$.

3. Вычисление искомого угла
Мы нашли угловой коэффициент касательной: $k = 5$. Это тангенс угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси $Ox$:
$\tan(\alpha) = 5$, откуда $\alpha = \arctan(5)$.
Нам нужен угол $\beta$ между касательной и осью $Oy$. Поскольку оси $Ox$ и $Oy$ перпендикулярны, искомый острый угол $\beta$ является дополнением угла $\alpha$ до $90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан).
$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \arctan(5)$.
Используя тригонометрическое тождество $\arctan(x) + \operatorname{arccot}(x) = 90^\circ$, мы можем выразить этот угол через арккотангенс:
$\beta = \operatorname{arccot}(5)$.
Приблизительное значение этого угла в градусах составляет $11.31^\circ$.

Ответ: $\operatorname{arccot}(5)$.