Номер 5.32, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.32, страница 124.

Условие.

5.32* Углом пересечения графика функции $y = f(x)$ и прямой $l$ называют угол между прямой $l$ и касательной к графику функции, проведённой в точке пересечения. Под каким углом пересекается ось $Ox$ график функции $y = f(x)$ в каждой из точек пересечения, если:

a) $y = x^2 + x - 2;$

б) $y = 5x^2 + 4x - 9;$

в) $y = 2x^3 - 12x^2 + x - 6;$

г) $y = x^3 + 6x^2 + 5x?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Углом пересечения графика функции $y=f(x)$ и прямой $l$ называют угол между прямой $l$ и касательной к графику функции, проведенной в точке пересечения. В данной задаче прямая $l$ — это ось абсцисс ($Ox$). Угол наклона $\alpha$ касательной к графику функции в точке $x_0$ к положительному направлению оси $Ox$ определяется через ее угловой коэффициент (тангенс угла наклона) $k = \tan(\alpha)$. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = f'(x_0)$. Таким образом, искомый угол пересечения $\alpha$ находится из соотношения $\alpha = \arctan(f'(x_0))$.

Для решения задачи по каждому пункту необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти абсциссы точек пересечения графика функции с осью $Ox$, решив уравнение $f(x) = 0$.

2. Найти производную функции $f'(x)$.

3. Для каждой точки пересечения $x_0$ вычислить значение производной $f'(x_0)$.

4. Найти угол пересечения как $\alpha = \arctan(f'(x_0))$.

а) $y = x^2 + x - 2$

1. Находим точки пересечения с осью $Ox$, решая уравнение $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

2. Находим производную функции: $y' = (x^2 + x - 2)' = 2x + 1$.

3. Вычисляем значение производной в точках пересечения:

- В точке $x_1 = 1$ угловой коэффициент касательной равен $k_1 = y'(1) = 2(1) + 1 = 3$.

- В точке $x_2 = -2$ угловой коэффициент касательной равен $k_2 = y'(-2) = 2(-2) + 1 = -3$.

4. Углы пересечения равны:

- В точке с абсциссой $x=1$ угол равен $\alpha_1 = \arctan(3)$.

- В точке с абсциссой $x=-2$ угол равен $\alpha_2 = \arctan(-3)$.

Ответ: в точке с абсциссой $x=1$ график пересекает ось $Ox$ под углом $\arctan(3)$; в точке с абсциссой $x=-2$ — под углом $\arctan(-3)$.

б) $y = 5x^2 + 4x - 9$

1. Находим точки пересечения с осью $Ox$, решая уравнение $5x^2 + 4x - 9 = 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4(5)(-9) = 16 + 180 = 196 = 14^2$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm 14}{10}$. Получаем $x_1 = 1$ и $x_2 = -1,8$.

2. Находим производную функции: $y' = (5x^2 + 4x - 9)' = 10x + 4$.

3. Вычисляем значение производной в точках пересечения:

- В точке $x_1 = 1$ угловой коэффициент касательной равен $k_1 = y'(1) = 10(1) + 4 = 14$.

- В точке $x_2 = -1,8$ угловой коэффициент касательной равен $k_2 = y'(-1,8) = 10(-1,8) + 4 = -18 + 4 = -14$.

4. Углы пересечения равны:

- В точке с абсциссой $x=1$ угол равен $\alpha_1 = \arctan(14)$.

- В точке с абсциссой $x=-1,8$ угол равен $\alpha_2 = \arctan(-14)$.

Ответ: в точке с абсциссой $x=1$ под углом $\arctan(14)$; в точке с абсциссой $x=-1,8$ под углом $\arctan(-14)$.

в) $y = 2x^3 - 12x^2 + x - 6$

1. Находим точки пересечения с осью $Ox$: $2x^3 - 12x^2 + x - 6 = 0$. Сгруппируем слагаемые: $2x^2(x - 6) + 1(x - 6) = 0$, что дает $(2x^2 + 1)(x - 6) = 0$. Уравнение $2x^2 + 1 = 0$ не имеет действительных корней. Единственный действительный корень — $x = 6$.

2. Находим производную функции: $y' = (2x^3 - 12x^2 + x - 6)' = 6x^2 - 24x + 1$.

3. Вычисляем значение производной в точке пересечения $x=6$: $k = y'(6) = 6(6^2) - 24(6) + 1 = 6(36) - 144 + 1 = 216 - 144 + 1 = 73$.

4. Угол пересечения равен $\alpha = \arctan(73)$.

Ответ: в точке с абсциссой $x=6$ под углом $\arctan(73)$.

г) $y = x^3 + 6x^2 + 5x$

1. Находим точки пересечения с осью $Ox$: $x^3 + 6x^2 + 5x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x^2 + 6x + 5) = 0$. Решая квадратное уравнение $x^2 + 6x + 5 = 0$, находим корни $x = -1$ и $x = -5$. Таким образом, точки пересечения: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$, $x_3 = -5$.

2. Находим производную функции: $y' = (x^3 + 6x^2 + 5x)' = 3x^2 + 12x + 5$.

3. Вычисляем значение производной в точках пересечения:

- В точке $x_1 = 0$: $k_1 = y'(0) = 3(0)^2 + 12(0) + 5 = 5$.

- В точке $x_2 = -1$: $k_2 = y'(-1) = 3(-1)^2 + 12(-1) + 5 = 3 - 12 + 5 = -4$.

- В точке $x_3 = -5$: $k_3 = y'(-5) = 3(-5)^2 + 12(-5) + 5 = 3(25) - 60 + 5 = 75 - 60 + 5 = 20$.

4. Углы пересечения равны:

- В точке с абсциссой $x=0$ угол равен $\alpha_1 = \arctan(5)$.

- В точке с абсциссой $x=-1$ угол равен $\alpha_2 = \arctan(-4)$.

- В точке с абсциссой $x=-5$ угол равен $\alpha_3 = \arctan(20)$.

Ответ: в точке с абсциссой $x=0$ под углом $\arctan(5)$; в точке с абсциссой $x=-1$ под углом $\arctan(-4)$; в точке с абсциссой $x=-5$ под углом $\arctan(20)$.