Номер 5.25, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.25, страница 124.

Условие.

5.25 $f(x) = \text{ctg } x.$

а) $x_0 = \frac{\pi}{2};$

б) $x_0 = -\frac{\pi}{2};$

в) $x_0 = \frac{\pi}{4};$

г) $x_0 = -\frac{\pi}{6}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Чтобы найти значение функции $f(x) = \operatorname{ctg} x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$, необходимо подставить это значение аргумента в функцию.

$f(\frac{\pi}{2}) = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2})$

Значение котангенса для угла $\frac{\pi}{2}$ (или 90°) можно найти из определения $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$:

$\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$

Ответ: $0$.

б) Найдем значение функции $f(x) = \operatorname{ctg} x$ в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$.

$f(-\frac{\pi}{2}) = \operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{2})$

Функция котангенс является нечетной, то есть для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$.

Используя это свойство и результат из пункта а):

$\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{2}) = -\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2}) = -0 = 0$

Ответ: $0$.

в) Найдем значение функции $f(x) = \operatorname{ctg} x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

$f(\frac{\pi}{4}) = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4})$

Это табличное значение для тригонометрических функций. Для угла $\frac{\pi}{4}$ (или 45°) значения синуса и косинуса равны: $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$

Ответ: $1$.

г) Найдем значение функции $f(x) = \operatorname{ctg} x$ в точке $x_0 = -\frac{\pi}{6}$.

$f(-\frac{\pi}{6}) = \operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{6})$

Воспользуемся свойством нечетности функции котангенс:

$\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{6}) = -\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6})$

Найдем табличное значение для $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6})$. Для угла $\frac{\pi}{6}$ (или 30°) имеем $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

$\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{6})}{\sin(\frac{\pi}{6})} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

Следовательно:

$\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3}$

Ответ: $-\sqrt{3}$.