Номер 5.24, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.24, страница 124.

Условие.

5.24 $f(x) = \text{tg } x.$

а) $x_0 = 0;$

б) $x_0 = \frac{\pi}{4};$

в) $x_0 = -\frac{\pi}{4};$

г) $x_0 = \frac{\pi}{6}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения задачи необходимо найти производную функции $f(x) = \tg x$, а затем вычислить её значение в каждой из заданных точек $x_0$.

Производная функции тангенса является стандартной и находится по формуле:

$f'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Теперь вычислим значения производной для каждого случая.

а) $x_0 = 0$

Подставим значение $x_0 = 0$ в формулу производной:

$f'(0) = \frac{1}{\cos^2(0)}$

Зная, что $\cos(0) = 1$, получаем:

$f'(0) = \frac{1}{1^2} = 1$.

Ответ: $1$.

б) $x_0 = \frac{\pi}{4}$

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в формулу производной:

$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)}$

Зная, что $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{1}{\frac{2}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

Ответ: $2$.

в) $x_0 = -\frac{\pi}{4}$

Подставим значение $x_0 = -\frac{\pi}{4}$ в формулу производной:

$f'\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\cos^2\left(-\frac{\pi}{4}\right)}$

Функция косинуса является четной, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$. Поэтому $\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$f'\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{1}{\frac{2}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

Ответ: $2$.

г) $x_0 = \frac{\pi}{6}$

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{6}$ в формулу производной:

$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)}$

Зная, что $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.