Номер 5.29, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.29, страница 124.

Условие.

5.29 $f(x) = e^x.$

а) $x_0 = -2;$

б) $x_0 = -1;$

в) $x_0 = 0;$

г) $x_0 = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ используется формула:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В данной задаче функция $f(x) = e^x$.

Найдем производную этой функции. Производная экспоненциальной функции $e^x$ равна самой себе:

$f'(x) = (e^x)' = e^x$

Теперь применим эту формулу для каждой из заданных точек $x_0$.

а) $x_0 = -2$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$:

$f(x_0) = f(-2) = e^{-2}$

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$:

$f'(x_0) = f'(-2) = e^{-2}$

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = e^{-2} + e^{-2}(x - (-2))$

$y = e^{-2} + e^{-2}(x + 2)$

$y = e^{-2} + e^{-2}x + 2e^{-2}$

$y = e^{-2}x + 3e^{-2}$

Ответ: $y = e^{-2}x + 3e^{-2}$.

б) $x_0 = -1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(x_0) = f(-1) = e^{-1}$

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(x_0) = f'(-1) = e^{-1}$

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = e^{-1} + e^{-1}(x - (-1))$

$y = e^{-1} + e^{-1}(x + 1)$

$y = e^{-1} + e^{-1}x + e^{-1}$

$y = e^{-1}x + 2e^{-1}$

Ответ: $y = e^{-1}x + 2e^{-1}$.

в) $x_0 = 0$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:

$f(x_0) = f(0) = e^0 = 1$

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(x_0) = f'(0) = e^0 = 1$

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 1 + 1 \cdot (x - 0)$

$y = 1 + x$

Ответ: $y = x + 1$.

г) $x_0 = 2$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 2$:

$f(x_0) = f(2) = e^2$

2. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(x_0) = f'(2) = e^2$

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = e^2 + e^2(x - 2)$

$y = e^2 + e^2x - 2e^2$

$y = e^2x - e^2$

Ответ: $y = e^2x - e^2$.