Номер 5.34, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.34, страница 124.

Условие.

5.34 Напишите уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0 = e$, если:

а) $f(x) = x^e$;

б) $f(x) = e^x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Общая формула для уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

В данной задаче абсцисса точки касания $x_0 = e$.

а) Рассмотрим функцию $f(x) = x^e$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = e$:

$f(x_0) = f(e) = e^e$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Это степенная функция, поэтому используем формулу дифференцирования $(u^n)' = n \cdot u^{n-1}$:

$f'(x) = (x^e)' = e \cdot x^{e-1}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = e$. Это будет угловой коэффициент касательной:

$f'(x_0) = f'(e) = e \cdot e^{e-1} = e^{1 + (e-1)} = e^e$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = e^e$ и $f'(x_0) = e^e$ в уравнение касательной:

$y = e^e + e^e(x - e)$.

5. Упростим уравнение, раскрыв скобки:

$y = e^e + e^e \cdot x - e^e \cdot e$

$y = e^e x + e^e - e^{e+1}$.

Ответ: $y = e^e x + e^e - e^{e+1}$.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = e^x$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = e$:

$f(x_0) = f(e) = e^e$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Это показательная функция, производная которой равна самой функции:

$f'(x) = (e^x)' = e^x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = e$:

$f'(x_0) = f'(e) = e^e$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = e^e$ и $f'(x_0) = e^e$ в уравнение касательной:

$y = e^e + e^e(x - e)$.

5. Упростим уравнение. Заметим, что оно полностью совпадает с уравнением из пункта а):

$y = e^e + e^e \cdot x - e^e \cdot e$

$y = e^e x + e^e - e^{e+1}$.

Ответ: $y = e^e x + e^e - e^{e+1}$.