Страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.44° Сформулируйте теорему Ролля.

Формулировка теоремы Ролля

Теорема Ролля (также известная как теорема о корнях производной) является одной из фундаментальных теорем математического анализа. Она устанавливает связь между поведением функции и её производной.

Пусть дана функция $y = f(x)$, которая удовлетворяет следующим трем условиям:

1. функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[a, b]$;
2. функция $f(x)$ дифференцируема на открытом интервале $(a, b)$;
3. значения функции на концах отрезка равны между собой, то есть $f(a) = f(b)$.

Тогда на интервале $(a, b)$ найдется по меньшей мере одна точка $c$ (то есть $a < c < b$), в которой производная функции равна нулю: $f'(c) = 0$.

Геометрический смысл

Геометрическая интерпретация теоремы Ролля заключается в следующем: если ординаты концов гладкой непрерывной кривой равны, то на этой кривой существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (Оx). Такая точка является стационарной точкой (точкой локального экстремума или точкой перегиба с горизонтальной касательной).

Доказательство теоремы

Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ (условие 1), то по первой теореме Вейерштрасса она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения $m$ и наибольшего значения $M$.

Возможны два случая:

1. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке равны: $m = M$. Это означает, что функция является постоянной на отрезке $[a, b]$, то есть $f(x) = C$ для всех $x \in [a, b]$, где $C$ — константа. В этом случае её производная $f'(x) = 0$ в любой точке интервала $(a, b)$. Следовательно, в качестве точки $c$ можно взять любую точку из этого интервала.

2. Наибольшее и наименьшее значения функции не равны: $m < M$. Поскольку по условию 3 $f(a) = f(b)$, то хотя бы одно из экстремальных значений (либо $m$, либо $M$) достигается во внутренней точке $c$ интервала $(a, b)$. Пусть, для определенности, в точке $c \in (a, b)$ функция достигает своего наибольшего значения $M = f(c)$. Так как $c$ является точкой локального экстремума и по условию 2 функция $f(x)$ дифференцируема в этой точке, то по необходимому условию экстремума (теореме Ферма) производная в этой точке должна быть равна нулю: $f'(c) = 0$. Аналогично рассуждаем, если в точке $c$ достигается наименьшее значение $m$.

Таким образом, в любом случае в интервале $(a, b)$ существует точка $c$, в которой $f'(c) = 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема Ролля гласит, что если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, дифференцируема в интервале $(a, b)$ и принимает на концах отрезка равные значения, то есть $f(a) = f(b)$, то в интервале $(a, b)$ существует хотя бы одна точка $c$, в которой производная функции обращается в ноль, то есть $f'(c) = 0$.

5.45 Не вычисляя производной, объясните, почему внутри указанного отрезка функция $f'(x)$ имеет точку, в которой производная этой функции равна нулю, если:

a) $f(x)=-x^3+3x$, [-1; 2];

б) $f(x)=x^3+3x^2$, [-3; 0].

а)

Для ответа на этот вопрос воспользуемся теоремой Ролля. Теорема Ролля гласит: если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, дифференцируема на интервале $(a, b)$ и значения функции на концах отрезка равны, то есть $f(a) = f(b)$, то существует хотя бы одна точка $c$ на интервале $(a, b)$, в которой производная функции равна нулю, то есть $f'(c) = 0$.

Проверим выполнение условий теоремы Ролля для функции $f(x) = -x^3 + 3x$ на отрезке $[-1; 2]$.

1. Функция $f(x) = -x^3 + 3x$ является многочленом, а многочлены непрерывны на всей числовой оси. Следовательно, функция непрерывна на отрезке $[-1; 2]$.

2. Многочлены также дифференцируемы на всей числовой оси. Следовательно, функция $f(x)$ дифференцируема на интервале $(-1; 2)$.

3. Вычислим значения функции на концах отрезка:
$f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2$.
$f(2) = -(2)^3 + 3(2) = -8 + 6 = -2$.
Так как $f(-1) = f(2) = -2$, значения функции на концах отрезка равны.

Все три условия теоремы Ролля выполнены. Следовательно, внутри отрезка $[-1; 2]$ существует точка, в которой производная этой функции равна нулю.

Ответ: Поскольку функция является непрерывной на отрезке $[-1; 2]$, дифференцируемой на интервале $(-1; 2)$ и ее значения на концах отрезка равны ($f(-1) = f(2) = -2$), по теореме Ролля существует точка внутри этого отрезка, в которой производная равна нулю.

б)

Аналогично пункту а), применим теорему Ролля для функции $f(x) = x^3 + 3x^2$ на отрезке $[-3; 0]$.

Проверим выполнение условий теоремы:

1. Функция $f(x) = x^3 + 3x^2$ является многочленом, поэтому она непрерывна на всей числовой оси, в том числе и на отрезке $[-3; 0]$.

2. Как многочлен, функция $f(x)$ дифференцируема на всей числовой оси, а значит, и на интервале $(-3; 0)$.

3. Вычислим значения функции на концах отрезка:
$f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 = -27 + 3(9) = -27 + 27 = 0$.
$f(0) = (0)^3 + 3(0)^2 = 0 + 0 = 0$.
Значения функции на концах отрезка равны: $f(-3) = f(0) = 0$.

Так как все условия теоремы Ролля выполнены, можно утверждать, что внутри отрезка $[-3; 0]$ существует точка, в которой производная функции равна нулю.

Ответ: Поскольку функция является непрерывной на отрезке $[-3; 0]$, дифференцируемой на интервале $(-3; 0)$ и ее значения на концах отрезка равны ($f(-3) = f(0) = 0$), по теореме Ролля существует точка внутри этого отрезка, в которой производная равна нулю.

5.46 Сформулируйте теорему Лагранжа.

5.46

Теорема Лагранжа, также известная как теорема о среднем значении или формула конечных приращений, является одной из фундаментальных теорем дифференциального исчисления. Она устанавливает связь между приращением функции на отрезке и значением её производной в некоторой внутренней точке этого отрезка.

Формулировка теоремы Лагранжа

Пусть дана функция $y = f(x)$, которая удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[a, b]$.

2. Функция $f(x)$ дифференцируема на открытом интервале $(a, b)$.

Тогда на интервале $(a, b)$ существует по крайней мере одна точка $c$ (то есть, $a < c < b$) такая, что справедливо равенство:

$$ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$

Данное равенство называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Его также можно записать в виде: $f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)$.

Геометрический смысл теоремы

Геометрически теорема Лагранжа означает, что на графике функции $y=f(x)$, удовлетворяющей условиям теоремы, между точками $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$ обязательно найдется такая точка $C(c, f(c))$, в которой касательная к графику будет параллельна хорде (секущей), соединяющей точки $A$ и $B$.

Угловой коэффициент касательной в точке $c$ — это значение производной $f'(c)$. Угловой коэффициент хорды $AB$ вычисляется как отношение приращения функции $\Delta y = f(b) - f(a)$ к приращению аргумента $\Delta x = b - a$, то есть $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Таким образом, равенство в теореме означает равенство угловых коэффициентов и, следовательно, параллельность касательной и хорды.

Физический смысл теоремы

Рассмотрим прямолинейное движение тела, где $s(t)$ — это координата тела в момент времени $t$. Тогда $\frac{s(b) - s(a)}{b - a}$ — это средняя скорость движения за промежуток времени от $t=a$ до $t=b$. Производная $s'(t)$ — это мгновенная скорость в момент времени $t$. Теорема Лагранжа утверждает, что в некоторый момент времени $c \in (a, b)$ мгновенная скорость тела будет равна его средней скорости на всем промежутке $[a, b]$.

Ответ: Теорема Лагранжа (о среднем значении): если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и дифференцируема в интервале $(a, b)$, то в этом интервале существует хотя бы одна точка $c \in (a, b)$, для которой выполняется равенство: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

5.47 Дана функция $f(x)$. Внутри отрезка $[a; b]$ найдите точку $c$, для которой справедливо равенство $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$, если:

а) $f(x) = x^3$, $a = -1$, $b = 2$;

б) $f(x) = x^3$, $a = -2$, $b = 1$;

в) $f(x) = \sqrt[3]{x}$, $a = 0$, $b = 27$;

г) $f(x) = \sqrt[3]{x}$, $a = -27$, $b = 0$.

а) Дана функция $f(x) = x^3$ на отрезке $[a; b] = [-1; 2]$. Согласно теореме Лагранжа о среднем значении, необходимо найти точку $c \in (-1; 2)$, для которой выполняется равенство $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
Функция $f(x) = x^3$ непрерывна на отрезке $[-1; 2]$ и дифференцируема на интервале $(-1; 2)$, поэтому теорема применима.
1. Найдем значения функции на концах отрезка: $f(a) = f(-1) = (-1)^3 = -1$
$f(b) = f(2) = 2^3 = 8$
2. Вычислим правую часть равенства (среднюю скорость изменения функции): $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{8 - (-1)}{2 - (-1)} = \frac{9}{3} = 3 $$ 3. Найдем производную функции: $f'(x) = 3x^2$
4. Приравняем производную в точке $c$ к найденному значению и решим уравнение: $f'(c) = 3c^2 = 3$
$c^2 = 1$
$c_1 = 1$, $c_2 = -1$
5. Выберем значение $c$, которое находится внутри отрезка, то есть принадлежит интервалу $(-1; 2)$. $c_1 = 1 \in (-1; 2)$.
$c_2 = -1$ является концом отрезка и не лежит внутри него.
Следовательно, искомая точка $c=1$.
Ответ: $c = 1$.

б) Дана функция $f(x) = x^3$ на отрезке $[a; b] = [-2; 1]$. Ищем точку $c \in (-2; 1)$.
Функция $f(x) = x^3$ непрерывна и дифференцируема на данном отрезке.
1. Найдем значения функции на концах отрезка: $f(a) = f(-2) = (-2)^3 = -8$
$f(b) = f(1) = 1^3 = 1$
2. Вычислим среднюю скорость изменения функции: $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{1 - (-8)}{1 - (-2)} = \frac{9}{3} = 3 $$ 3. Производная функции: $f'(x) = 3x^2$.
4. Решим уравнение $f'(c) = 3$: $3c^2 = 3$
$c^2 = 1$
$c_1 = 1$, $c_2 = -1$
5. Выберем значение $c$, принадлежащее интервалу $(-2; 1)$. $c_1 = 1$ является концом отрезка и не лежит внутри него.
$c_2 = -1 \in (-2; 1)$.
Таким образом, искомая точка $c=-1$.
Ответ: $c = -1$.

в) Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ на отрезке $[a; b] = [0; 27]$. Ищем точку $c \in (0; 27)$.
Функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ непрерывна на отрезке $[0; 27]$ и дифференцируема на интервале $(0; 27)$, так как производная не существует только в точке $x=0$, которая не входит в интервал. Теорема Лагранжа применима.
1. Найдем значения функции на концах отрезка: $f(a) = f(0) = \sqrt[3]{0} = 0$
$f(b) = f(27) = \sqrt[3]{27} = 3$
2. Вычислим среднюю скорость изменения функции: $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{3 - 0}{27 - 0} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9} $$ 3. Найдем производную функции. Запишем функцию как $f(x) = x^{1/3}$: $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$
4. Решим уравнение $f'(c) = \frac{1}{9}$: $\frac{1}{3\sqrt[3]{c^2}} = \frac{1}{9}$
$3\sqrt[3]{c^2} = 9$
$\sqrt[3]{c^2} = 3$
Возведем обе части в куб: $c^2 = 3^3 = 27$.
$c_1 = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$, $c_2 = -\sqrt{27} = -3\sqrt{3}$
5. Выберем значение $c$, принадлежащее интервалу $(0; 27)$. $c_1 = 3\sqrt{3} \approx 5.196$, что принадлежит интервалу $(0; 27)$.
$c_2 = -3\sqrt{3}$ является отрицательным числом и не принадлежит интервалу $(0; 27)$.
Следовательно, искомая точка $c=3\sqrt{3}$.
Ответ: $c = 3\sqrt{3}$.

г) Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ на отрезке $[a; b] = [-27; 0]$. Ищем точку $c \in (-27; 0)$.
Функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ непрерывна на отрезке $[-27; 0]$ и дифференцируема на интервале $(-27; 0)$. Теорема Лагранжа применима.
1. Найдем значения функции на концах отрезка: $f(a) = f(-27) = \sqrt[3]{-27} = -3$
$f(b) = f(0) = \sqrt[3]{0} = 0$
2. Вычислим среднюю скорость изменения функции: $$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{0 - (-3)}{0 - (-27)} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9} $$ 3. Производная функции: $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
4. Решим уравнение $f'(c) = \frac{1}{9}$: $\frac{1}{3\sqrt[3]{c^2}} = \frac{1}{9}$
$c^2 = 27$
$c_1 = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$, $c_2 = -\sqrt{27} = -3\sqrt{3}$
5. Выберем значение $c$, принадлежащее интервалу $(-27; 0)$. $c_1 = 3\sqrt{3}$ является положительным числом и не принадлежит интервалу $(-27; 0)$.
$c_2 = -3\sqrt{3} \approx -5.196$, что принадлежит интервалу $(-27; 0)$.
Таким образом, искомая точка $c=-3\sqrt{3}$.
Ответ: $c = -3\sqrt{3}$.

5.48 Через две точки $A$ и $B$ графика функции $y = x^2$, имеющие соответственно абсциссы $a$ и $b$, проведена секущая $AB$. Существует ли точка $C$ графика функции с абсциссой $c \in (a; b)$, через которую можно провести касательную к графику этой функции, параллельную секущей $AB$?

Да, такая точка существует. Это можно доказать, найдя абсциссу такой точки и проверив, что она принадлежит заданному интервалу.

Функция задана уравнением $y = x^2$. Точки A и B, лежащие на графике этой функции, имеют координаты $A(a, a^2)$ и $B(b, b^2)$.

Найдем угловой коэффициент $k_{AB}$ секущей, проходящей через точки A и B. Он вычисляется по формуле:$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{b^2 - a^2}{b - a}$

Используя формулу разности квадратов $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$ и учитывая, что по условию $a \neq b$, мы можем упростить это выражение:$k_{AB} = \frac{(b - a)(b + a)}{b - a} = a + b$

Теперь найдем угловой коэффициент касательной к графику функции $y = x^2$ в искомой точке C с абсциссой $c$. Угловой коэффициент касательной в точке равен значению производной функции в этой точке.Найдем производную функции $y(x) = x^2$:$y'(x) = 2x$

Следовательно, угловой коэффициент касательной $k_{tan}$ в точке C с абсциссой $c$ равен:$k_{tan} = y'(c) = 2c$

По условию задачи, касательная в точке C должна быть параллельна секущей AB. Это означает, что их угловые коэффициенты должны быть равны:$k_{tan} = k_{AB}$$2c = a + b$

Отсюда мы можем найти абсциссу $c$ точки C:$c = \frac{a + b}{2}$

Осталось проверить, что абсцисса $c$ действительно находится в интервале $(a, b)$, то есть удовлетворяет двойному неравенству $a < c < b$. Подставим найденное значение $c$:$a < \frac{a + b}{2} < b$

Рассмотрим левую часть неравенства: $a < \frac{a + b}{2}$. Так как по условию $a<b$, можно прибавить $a$ к обеим частям: $a+a < a+b \implies 2a < a+b$. Разделив на 2, получаем $a < \frac{a+b}{2}$. Неравенство верно.

Рассмотрим правую часть неравенства: $\frac{a + b}{2} < b$. Так как по условию $a<b$, можно прибавить $b$ к обеим частям: $a+b < b+b \implies a+b < 2b$. Разделив на 2, получаем $\frac{a+b}{2} < b$. Неравенство также верно.

Таким образом, мы нашли значение $c = \frac{a+b}{2}$, которое всегда лежит в интервале $(a,b)$, и в точке с этой абсциссой касательная к графику параллельна секущей AB. Существование такой точки также гарантируется теоремой Лагранжа о среднем значении, примененной к функции $y=x^2$ на отрезке $[a,b]$.

Ответ: Да, такая точка C существует. Ее абсцисса $c$ равна среднему арифметическому абсцисс точек A и B: $c = \frac{a + b}{2}$. Поскольку по условию $a < b$, абсцисса $c$ всегда принадлежит интервалу $(a, b)$.