Номер 5.48, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.48, страница 129.

Условие.

5.48 Через две точки $A$ и $B$ графика функции $y = x^2$, имеющие соответственно абсциссы $a$ и $b$, проведена секущая $AB$. Существует ли точка $C$ графика функции с абсциссой $c \in (a; b)$, через которую можно провести касательную к графику этой функции, параллельную секущей $AB$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Да, такая точка существует. Это можно доказать, найдя абсциссу такой точки и проверив, что она принадлежит заданному интервалу.

Функция задана уравнением $y = x^2$. Точки A и B, лежащие на графике этой функции, имеют координаты $A(a, a^2)$ и $B(b, b^2)$.

Найдем угловой коэффициент $k_{AB}$ секущей, проходящей через точки A и B. Он вычисляется по формуле:$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{b^2 - a^2}{b - a}$

Используя формулу разности квадратов $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$ и учитывая, что по условию $a \neq b$, мы можем упростить это выражение:$k_{AB} = \frac{(b - a)(b + a)}{b - a} = a + b$

Теперь найдем угловой коэффициент касательной к графику функции $y = x^2$ в искомой точке C с абсциссой $c$. Угловой коэффициент касательной в точке равен значению производной функции в этой точке.Найдем производную функции $y(x) = x^2$:$y'(x) = 2x$

Следовательно, угловой коэффициент касательной $k_{tan}$ в точке C с абсциссой $c$ равен:$k_{tan} = y'(c) = 2c$

По условию задачи, касательная в точке C должна быть параллельна секущей AB. Это означает, что их угловые коэффициенты должны быть равны:$k_{tan} = k_{AB}$$2c = a + b$

Отсюда мы можем найти абсциссу $c$ точки C:$c = \frac{a + b}{2}$

Осталось проверить, что абсцисса $c$ действительно находится в интервале $(a, b)$, то есть удовлетворяет двойному неравенству $a < c < b$. Подставим найденное значение $c$:$a < \frac{a + b}{2} < b$

Рассмотрим левую часть неравенства: $a < \frac{a + b}{2}$. Так как по условию $a<b$, можно прибавить $a$ к обеим частям: $a+a < a+b \implies 2a < a+b$. Разделив на 2, получаем $a < \frac{a+b}{2}$. Неравенство верно.

Рассмотрим правую часть неравенства: $\frac{a + b}{2} < b$. Так как по условию $a<b$, можно прибавить $b$ к обеим частям: $a+b < b+b \implies a+b < 2b$. Разделив на 2, получаем $\frac{a+b}{2} < b$. Неравенство также верно.

Таким образом, мы нашли значение $c = \frac{a+b}{2}$, которое всегда лежит в интервале $(a,b)$, и в точке с этой абсциссой касательная к графику параллельна секущей AB. Существование такой точки также гарантируется теоремой Лагранжа о среднем значении, примененной к функции $y=x^2$ на отрезке $[a,b]$.

Ответ: Да, такая точка C существует. Ее абсцисса $c$ равна среднему арифметическому абсцисс точек A и B: $c = \frac{a + b}{2}$. Поскольку по условию $a < b$, абсцисса $c$ всегда принадлежит интервалу $(a, b)$.