Номер 5.54, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.54, страница 133.

Условие.

5.54 Докажите, что функция $f(x) = \frac{1}{x}$ убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы доказать, что функция $f(x) = \frac{1}{x}$ убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, воспользуемся определением убывающей функции. Функция $f(x)$ называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Рассмотрим каждый промежуток отдельно.

Промежуток $(0; +\infty)$

Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные числа из промежутка $(0; +\infty)$, причем $x_1 < x_2$. Из этого следует, что $0 < x_1 < x_2$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$f(x_1) - f(x_2) = \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2}$

Оценим знак полученного выражения. Числитель $x_2 - x_1 > 0$, так как $x_1 < x_2$. Знаменатель $x_1 x_2 > 0$, так как $x_1$ и $x_2$ — положительные числа. Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, то и вся дробь положительна:

$\frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2} > 0$

Следовательно, $f(x_1) - f(x_2) > 0$, что равносильно $f(x_1) > f(x_2)$.

Таким образом, для любых $x_1, x_2$ из $(0; +\infty)$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется $f(x_1) > f(x_2)$, значит, функция $f(x) = \frac{1}{x}$ убывает на промежутке $(0; +\infty)$.

Промежуток $(-\infty; 0)$

Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные числа из промежутка $(-\infty; 0)$, причем $x_1 < x_2$. Из этого следует, что $x_1 < x_2 < 0$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$f(x_1) - f(x_2) = \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2}$

Оценим знак этого выражения. Числитель $x_2 - x_1 > 0$, так как $x_1 < x_2$. Знаменатель $x_1 x_2 > 0$, так как $x_1$ и $x_2$ — отрицательные числа, а произведение двух отрицательных чисел положительно. Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, то и вся дробь положительна:

$\frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2} > 0$

Следовательно, $f(x_1) - f(x_2) > 0$, что равносильно $f(x_1) > f(x_2)$.

Таким образом, для любых $x_1, x_2$ из $(-\infty; 0)$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется $f(x_1) > f(x_2)$, значит, функция $f(x) = \frac{1}{x}$ убывает на промежутке $(-\infty; 0)$.

Альтернативное доказательство можно провести с помощью производной. Производная функции $f(x) = \frac{1}{x}$ равна $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$. Так как $x^2 > 0$ для всех $x \neq 0$, то $f'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения, то есть на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Если производная функции отрицательна на промежутке, то функция на этом промежутке убывает.

Ответ: Утверждение доказано. Функция $f(x)=\frac{1}{x}$ убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.