Номер 5.54, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.54, страница 133.
№5.54 (с. 133)
Условие. №5.54 (с. 133)
скриншот условия

5.54 Докажите, что функция $f(x) = \frac{1}{x}$ убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
Решение 1. №5.54 (с. 133)

Решение 2. №5.54 (с. 133)

Решение 3. №5.54 (с. 133)

Решение 4. №5.54 (с. 133)
Чтобы доказать, что функция $f(x) = \frac{1}{x}$ убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, воспользуемся определением убывающей функции. Функция $f(x)$ называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.
Рассмотрим каждый промежуток отдельно.
Промежуток $(0; +\infty)$
Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные числа из промежутка $(0; +\infty)$, причем $x_1 < x_2$. Из этого следует, что $0 < x_1 < x_2$.
Рассмотрим разность значений функции в этих точках:
$f(x_1) - f(x_2) = \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2}$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2}$
Оценим знак полученного выражения. Числитель $x_2 - x_1 > 0$, так как $x_1 < x_2$. Знаменатель $x_1 x_2 > 0$, так как $x_1$ и $x_2$ — положительные числа. Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, то и вся дробь положительна:
$\frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2} > 0$
Следовательно, $f(x_1) - f(x_2) > 0$, что равносильно $f(x_1) > f(x_2)$.
Таким образом, для любых $x_1, x_2$ из $(0; +\infty)$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется $f(x_1) > f(x_2)$, значит, функция $f(x) = \frac{1}{x}$ убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
Промежуток $(-\infty; 0)$
Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные числа из промежутка $(-\infty; 0)$, причем $x_1 < x_2$. Из этого следует, что $x_1 < x_2 < 0$.
Рассмотрим разность значений функции в этих точках:
$f(x_1) - f(x_2) = \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2}$
Оценим знак этого выражения. Числитель $x_2 - x_1 > 0$, так как $x_1 < x_2$. Знаменатель $x_1 x_2 > 0$, так как $x_1$ и $x_2$ — отрицательные числа, а произведение двух отрицательных чисел положительно. Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, то и вся дробь положительна:
$\frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2} > 0$
Следовательно, $f(x_1) - f(x_2) > 0$, что равносильно $f(x_1) > f(x_2)$.
Таким образом, для любых $x_1, x_2$ из $(-\infty; 0)$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется $f(x_1) > f(x_2)$, значит, функция $f(x) = \frac{1}{x}$ убывает на промежутке $(-\infty; 0)$.
Альтернативное доказательство можно провести с помощью производной. Производная функции $f(x) = \frac{1}{x}$ равна $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$. Так как $x^2 > 0$ для всех $x \neq 0$, то $f'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения, то есть на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Если производная функции отрицательна на промежутке, то функция на этом промежутке убывает.
Ответ: Утверждение доказано. Функция $f(x)=\frac{1}{x}$ убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.54 расположенного на странице 133 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.54 (с. 133), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.