Номер 5.55, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.55, страница 133.

Условие.

5.55 Докажите, что функция $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$ возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 1]$ и $[3; +\infty)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для доказательства того, что функция возрастает на заданных промежутках, необходимо найти её производную и определить интервалы, на которых эта производная неотрицательна (то есть $f'(x) \geq 0$).

Дана функция $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$.

Сначала найдём производную этой функции, используя правила дифференцирования:

$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9x - 1)' = 3x^2 - 12x + 9$.

Теперь определим, при каких значениях $x$ производная неотрицательна. Для этого решим неравенство:

$3x^2 - 12x + 9 \geq 0$

Чтобы решить это неравенство, найдём корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 12x + 9 = 0$. Для упрощения разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Эти точки являются критическими точками функции. Они разбивают числовую прямую на три интервала. Поскольку $f'(x)$ является квадратичной функцией с положительным старшим коэффициентом ($a=3>0$), её график — парабола, ветви которой направлены вверх.

Это означает, что парабола находится выше или на оси абсцисс (то есть $f'(x) \geq 0$) на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня. Таким образом, неравенство $f'(x) \geq 0$ выполняется при $x \in (-\infty; 1]$ и при $x \in [3; +\infty)$.

Поскольку производная функции неотрицательна на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[3; +\infty)$, это означает, что функция $f(x)$ возрастает на каждом из этих промежутков, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$ возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 1]$ и $[3; +\infty)$, так как её производная $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ на этих промежутках принимает неотрицательные значения ($f'(x) \geq 0$).