Номер 5.55, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.55, страница 133.
№5.55 (с. 133)
Условие. №5.55 (с. 133)
скриншот условия

5.55 Докажите, что функция $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$ возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 1]$ и $[3; +\infty)$.
Решение 1. №5.55 (с. 133)

Решение 2. №5.55 (с. 133)

Решение 4. №5.55 (с. 133)
Для доказательства того, что функция возрастает на заданных промежутках, необходимо найти её производную и определить интервалы, на которых эта производная неотрицательна (то есть $f'(x) \geq 0$).
Дана функция $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$.
Сначала найдём производную этой функции, используя правила дифференцирования:
$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9x - 1)' = 3x^2 - 12x + 9$.
Теперь определим, при каких значениях $x$ производная неотрицательна. Для этого решим неравенство:
$3x^2 - 12x + 9 \geq 0$
Чтобы решить это неравенство, найдём корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 12x + 9 = 0$. Для упрощения разделим обе части уравнения на 3:
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Эти точки являются критическими точками функции. Они разбивают числовую прямую на три интервала. Поскольку $f'(x)$ является квадратичной функцией с положительным старшим коэффициентом ($a=3>0$), её график — парабола, ветви которой направлены вверх.
Это означает, что парабола находится выше или на оси абсцисс (то есть $f'(x) \geq 0$) на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня. Таким образом, неравенство $f'(x) \geq 0$ выполняется при $x \in (-\infty; 1]$ и при $x \in [3; +\infty)$.
Поскольку производная функции неотрицательна на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[3; +\infty)$, это означает, что функция $f(x)$ возрастает на каждом из этих промежутков, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что функция $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$ возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 1]$ и $[3; +\infty)$, так как её производная $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ на этих промежутках принимает неотрицательные значения ($f'(x) \geq 0$).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.55 расположенного на странице 133 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.55 (с. 133), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.