Номер 5.52, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.52, страница 133.
№5.52 (с. 133)
Условие. №5.52 (с. 133)
скриншот условия

5.52 Докажите, что функция:
а) $f(x) = 2x + \cos x;$
б) $f(x) = x + \sin x$
возрастает на промежутке $\mathbf{R}$.
Решение 1. №5.52 (с. 133)


Решение 2. №5.52 (с. 133)

Решение 4. №5.52 (с. 133)
Для того чтобы доказать, что функция возрастает на промежутке, необходимо найти ее производную и показать, что она неотрицательна на этом промежутке. Если производная $f'(x) \ge 0$ для всех $x$ из промежутка, причем равенство $f'(x) = 0$ выполняется лишь в отдельных точках, то функция возрастает на этом промежутке.
а) $f(x) = 2x + \cos x$
1. Найдем производную функции $f(x)$. Используя правила дифференцирования суммы и производные элементарных функций, получаем:
$f'(x) = (2x + \cos x)' = (2x)' + (\cos x)' = 2 - \sin x$.
2. Проанализируем знак производной на всей числовой прямой $R$. Область значений функции синус, $E(\sin x)$, это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство:
$-1 \le \sin x \le 1$
Умножим все части неравенства на $-1$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$-1 \le -\sin x \le 1$
Прибавим ко всем частям неравенства 2:
$2 - 1 \le 2 - \sin x \le 2 + 1$
$1 \le 2 - \sin x \le 3$
Таким образом, мы получили, что $1 \le f'(x) \le 3$ для всех $x \in R$.
3. Поскольку производная функции $f'(x)$ всегда строго положительна ($f'(x) > 0$) на всей числовой прямой, то функция $f(x) = 2x + \cos x$ строго возрастает на промежутке $R$.
Ответ: Так как производная $f'(x) = 2 - \sin x > 0$ для всех $x \in R$, функция $f(x) = 2x + \cos x$ возрастает на промежутке $R$.
б) $f(x) = x + \sin x$
1. Найдем производную функции $f(x)$.
$f'(x) = (x + \sin x)' = (x)' + (\sin x)' = 1 + \cos x$.
2. Проанализируем знак производной на всей числовой прямой $R$. Область значений функции косинус, $E(\cos x)$, это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство:
$-1 \le \cos x \le 1$
Прибавим ко всем частям неравенства 1:
$1 - 1 \le 1 + \cos x \le 1 + 1$
$0 \le 1 + \cos x \le 2$
Таким образом, мы получили, что $0 \le f'(x) \le 2$ для всех $x \in R$.
3. Производная $f'(x)$ неотрицательна на всей числовой прямой. Выясним, в каких точках она обращается в ноль:
$f'(x) = 0 \Rightarrow 1 + \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = -1$.
Это равенство выполняется в точках $x = \pi + 2k\pi$, где $k \in Z$. Это изолированные точки, они не образуют сплошного промежутка.
4. Поскольку производная функции $f'(x) \ge 0$ на всей числовой прямой и обращается в ноль лишь в отдельных точках, функция $f(x) = x + \sin x$ возрастает на промежутке $R$.
Ответ: Так как производная $f'(x) = 1 + \cos x \ge 0$ для всех $x \in R$ и равна нулю лишь в отдельных точках, функция $f(x) = x + \sin x$ возрастает на промежутке $R$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.52 расположенного на странице 133 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.52 (с. 133), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.