Номер 5.52, страница 133 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.52, страница 133.

Условие.

5.52 Докажите, что функция:

а) $f(x) = 2x + \cos x;$

б) $f(x) = x + \sin x$

возрастает на промежутке $\mathbf{R}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для того чтобы доказать, что функция возрастает на промежутке, необходимо найти ее производную и показать, что она неотрицательна на этом промежутке. Если производная $f'(x) \ge 0$ для всех $x$ из промежутка, причем равенство $f'(x) = 0$ выполняется лишь в отдельных точках, то функция возрастает на этом промежутке.

а) $f(x) = 2x + \cos x$

1. Найдем производную функции $f(x)$. Используя правила дифференцирования суммы и производные элементарных функций, получаем:

$f'(x) = (2x + \cos x)' = (2x)' + (\cos x)' = 2 - \sin x$.

2. Проанализируем знак производной на всей числовой прямой $R$. Область значений функции синус, $E(\sin x)$, это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство:

$-1 \le \sin x \le 1$

Умножим все части неравенства на $-1$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$-1 \le -\sin x \le 1$

Прибавим ко всем частям неравенства 2:

$2 - 1 \le 2 - \sin x \le 2 + 1$

$1 \le 2 - \sin x \le 3$

Таким образом, мы получили, что $1 \le f'(x) \le 3$ для всех $x \in R$.

3. Поскольку производная функции $f'(x)$ всегда строго положительна ($f'(x) > 0$) на всей числовой прямой, то функция $f(x) = 2x + \cos x$ строго возрастает на промежутке $R$.

Ответ: Так как производная $f'(x) = 2 - \sin x > 0$ для всех $x \in R$, функция $f(x) = 2x + \cos x$ возрастает на промежутке $R$.

б) $f(x) = x + \sin x$

1. Найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x + \sin x)' = (x)' + (\sin x)' = 1 + \cos x$.

2. Проанализируем знак производной на всей числовой прямой $R$. Область значений функции косинус, $E(\cos x)$, это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство:

$-1 \le \cos x \le 1$

Прибавим ко всем частям неравенства 1:

$1 - 1 \le 1 + \cos x \le 1 + 1$

$0 \le 1 + \cos x \le 2$

Таким образом, мы получили, что $0 \le f'(x) \le 2$ для всех $x \in R$.

3. Производная $f'(x)$ неотрицательна на всей числовой прямой. Выясним, в каких точках она обращается в ноль:

$f'(x) = 0 \Rightarrow 1 + \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = -1$.

Это равенство выполняется в точках $x = \pi + 2k\pi$, где $k \in Z$. Это изолированные точки, они не образуют сплошного промежутка.

4. Поскольку производная функции $f'(x) \ge 0$ на всей числовой прямой и обращается в ноль лишь в отдельных точках, функция $f(x) = x + \sin x$ возрастает на промежутке $R$.

Ответ: Так как производная $f'(x) = 1 + \cos x \ge 0$ для всех $x \in R$ и равна нулю лишь в отдельных точках, функция $f(x) = x + \sin x$ возрастает на промежутке $R$.