Номер 5.56, страница 134 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.56, страница 134.

Условие.

5.56 a) Докажите, что функция $y = \ln (4 - 2x)$ убывает на полной области определения.

б) Докажите, что функция $y = \ln (2x - 6)$ возрастает на полной области определения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Чтобы доказать, что функция $y = \ln(4 - 2x)$ убывает на полной области определения, нужно выполнить два шага: найти эту область определения и исследовать знак производной функции на ней.

1. Нахождение области определения.
Функция натурального логарифма $\ln(t)$ определена только для положительных значений аргумента $t > 0$. В данном случае аргументом является выражение $4 - 2x$.
Следовательно, должно выполняться неравенство:
$4 - 2x > 0$
$4 > 2x$
$2 > x$, или $x < 2$.
Таким образом, полная область определения функции $D(y)$ — это интервал $(-\infty; 2)$.

2. Нахождение производной и анализ её знака.
Для исследования на монотонность найдем производную функции $y$ по переменной $x$, используя правило дифференцирования сложной функции:
$y' = (\ln(4 - 2x))' = \frac{1}{4 - 2x} \cdot (4 - 2x)'$
$y' = \frac{1}{4 - 2x} \cdot (-2) = \frac{-2}{4 - 2x}$
Упростим выражение:
$y' = \frac{-2}{2(2 - x)} = \frac{-1}{2 - x}$
Теперь определим знак производной на всей области определения, то есть для всех $x \in (-\infty; 2)$.
Если $x < 2$, то разность $2 - x$ будет всегда положительной ($2 - x > 0$).
Значит, производная $y' = \frac{-1}{2 - x}$ представляет собой частное от деления отрицательного числа (-1) на положительное число $(2 - x)$. Следовательно, производная всегда отрицательна на области определения:
$y' < 0$ для всех $x \in (-\infty; 2)$.
Поскольку производная функции отрицательна на всей её области определения, функция $y = \ln(4 - 2x)$ является убывающей на своей полной области определения.

Ответ: Доказано, что функция убывает на полной области определения $(-\infty; 2)$.

б)

Чтобы доказать, что функция $y = \ln(2x - 6)$ возрастает на полной области определения, выполним аналогичные действия: найдем область определения и исследуем знак производной.

1. Нахождение области определения.
Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным:
$2x - 6 > 0$
$2x > 6$
$x > 3$
Следовательно, полная область определения функции $D(y)$ — это интервал $(3; +\infty)$.

2. Нахождение производной и анализ её знака.
Найдем производную функции $y$ по переменной $x$:
$y' = (\ln(2x - 6))' = \frac{1}{2x - 6} \cdot (2x - 6)'$
$y' = \frac{1}{2x - 6} \cdot 2 = \frac{2}{2x - 6}$
Упростим выражение:
$y' = \frac{2}{2(x - 3)} = \frac{1}{x - 3}$
Теперь определим знак производной на всей области определения, то есть для всех $x \in (3; +\infty)$.
Если $x > 3$, то разность $x - 3$ будет всегда положительной ($x - 3 > 0$).
Значит, производная $y' = \frac{1}{x - 3}$ представляет собой частное от деления положительного числа (1) на положительное число $(x - 3)$. Следовательно, производная всегда положительна на области определения:
$y' > 0$ для всех $x \in (3; +\infty)$.
Поскольку производная функции положительна на всей её области определения, функция $y = \ln(2x - 6)$ является возрастающей на своей полной области определения.

Ответ: Доказано, что функция возрастает на полной области определения $(3; +\infty)$.