Номер 5.62, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.62, страница 136.
№5.62 (с. 136)
Условие. №5.62 (с. 136)
скриншот условия

5.62 a) Что называют второй производной функции $f(x)$? Как её обозначают?
б) Как находят производные высших порядков?
Решение 1. №5.62 (с. 136)


Решение 2. №5.62 (с. 136)

Решение 4. №5.62 (с. 136)
а) Что называют второй производной функции f(x)? Как её обозначают?
Пусть функция $y = f(x)$ дифференцируема на некотором интервале. Её производная $f'(x)$ также является функцией от $x$. Если эта функция $f'(x)$ в свою очередь дифференцируема, то её производную называют второй производной (или производной второго порядка) функции $f(x)$.
Таким образом, вторая производная — это производная от первой производной. Математически это записывается как $f''(x) = (f'(x))'$.
Для обозначения второй производной используются следующие символы:
– $y''$ (читается «игрек два штриха»)
– $f''(x)$ (читается «эф два штриха от икс»)
– $\frac{d^2y}{dx^2}$ (читается «дэ два игрек по дэ икс дважды»)
Пример. Найдем вторую производную функции $f(x) = x^3 - 5x^2 + 2x - 1$.
Первая производная: $f'(x) = (x^3 - 5x^2 + 2x - 1)' = 3x^2 - 10x + 2$.
Вторая производная: $f''(x) = (f'(x))' = (3x^2 - 10x + 2)' = 6x - 10$.
Ответ: Второй производной функции $f(x)$ называют производную от её первой производной, то есть $(f'(x))'$. Обозначают её как $f''(x)$, $y''$, или $\frac{d^2y}{dx^2}$.
б) Как находят производные высших порядков?
Производные высших порядков находят путем последовательного (поочередного) дифференцирования. Производная $n$-го порядка (или $n$-я производная) функции — это производная от её производной $(n-1)$-го порядка. Этот процесс возможен, если на каждом шаге полученная функция является дифференцируемой.
Этот рекурсивный процесс и соответствующие обозначения выглядят так:
Первая производная: $y' = f'(x)$
Вторая производная: $y'' = (y')'$
Третья производная: $y''' = (y'')'$. Также обозначается $f'''(x)$.
Производная n-го порядка: $y^{(n)} = (y^{(n-1)})'$. Для $n \ge 4$ производную обычно обозначают $y^{(n)}$, $f^{(n)}(x)$ или $\frac{d^ny}{dx^n}$, чтобы не использовать большое количество штрихов.
Пример. Найдем производную третьего порядка для функции $f(x) = \sin(x)$.
$f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$.
$f''(x) = (f'(x))' = (\cos(x))' = -\sin(x)$.
$f'''(x) = (f''(x))' = (-\sin(x))' = -\cos(x)$.
Ответ: Производные высших порядков находят путем последовательного дифференцирования. Производная $n$-го порядка является производной от производной $(n-1)$-го порядка: $f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)}(x))'$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.62 расположенного на странице 136 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.62 (с. 136), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.