Номер 5.62, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.62, страница 136.

Условие.

5.62 a) Что называют второй производной функции $f(x)$? Как её обозначают?

б) Как находят производные высших порядков?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Что называют второй производной функции f(x)? Как её обозначают?

Пусть функция $y = f(x)$ дифференцируема на некотором интервале. Её производная $f'(x)$ также является функцией от $x$. Если эта функция $f'(x)$ в свою очередь дифференцируема, то её производную называют второй производной (или производной второго порядка) функции $f(x)$.

Таким образом, вторая производная — это производная от первой производной. Математически это записывается как $f''(x) = (f'(x))'$.

Для обозначения второй производной используются следующие символы:
– $y''$ (читается «игрек два штриха»)
– $f''(x)$ (читается «эф два штриха от икс»)
– $\frac{d^2y}{dx^2}$ (читается «дэ два игрек по дэ икс дважды»)

Пример. Найдем вторую производную функции $f(x) = x^3 - 5x^2 + 2x - 1$.
Первая производная: $f'(x) = (x^3 - 5x^2 + 2x - 1)' = 3x^2 - 10x + 2$.
Вторая производная: $f''(x) = (f'(x))' = (3x^2 - 10x + 2)' = 6x - 10$.

Ответ: Второй производной функции $f(x)$ называют производную от её первой производной, то есть $(f'(x))'$. Обозначают её как $f''(x)$, $y''$, или $\frac{d^2y}{dx^2}$.

б) Как находят производные высших порядков?

Производные высших порядков находят путем последовательного (поочередного) дифференцирования. Производная $n$-го порядка (или $n$-я производная) функции — это производная от её производной $(n-1)$-го порядка. Этот процесс возможен, если на каждом шаге полученная функция является дифференцируемой.

Этот рекурсивный процесс и соответствующие обозначения выглядят так:
Первая производная: $y' = f'(x)$
Вторая производная: $y'' = (y')'$
Третья производная: $y''' = (y'')'$. Также обозначается $f'''(x)$.
Производная n-го порядка: $y^{(n)} = (y^{(n-1)})'$. Для $n \ge 4$ производную обычно обозначают $y^{(n)}$, $f^{(n)}(x)$ или $\frac{d^ny}{dx^n}$, чтобы не использовать большое количество штрихов.

Пример. Найдем производную третьего порядка для функции $f(x) = \sin(x)$.
$f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$.
$f''(x) = (f'(x))' = (\cos(x))' = -\sin(x)$.
$f'''(x) = (f''(x))' = (-\sin(x))' = -\cos(x)$.

Ответ: Производные высших порядков находят путем последовательного дифференцирования. Производная $n$-го порядка является производной от производной $(n-1)$-го порядка: $f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)}(x))'$.