Номер 5.67, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.67, страница 136.

Условие.

5.67* Найдите производные порядков 1, 2, 3 функции

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где $n \geq 2$.

Запишите полученный результат для $n = 2, n = 3, n = 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения производных будем последовательно применять правило дифференцирования степенной функции $(x^k)' = kx^{k-1}$ и свойство линейности производной, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных.

Для n = 2

Исходная функция имеет вид: $f(x) = a_2 x^2 + a_1 x + a_0$.

Производная 1-го порядка:
$f'(x) = (a_2 x^2 + a_1 x + a_0)' = a_2(x^2)' + a_1(x)' + (a_0)' = 2a_2x + a_1$.
Ответ: $f'(x) = 2a_2x + a_1$.

Производная 2-го порядка:
$f''(x) = (2a_2x + a_1)' = 2a_2(x)' + (a_1)' = 2a_2$.
Ответ: $f''(x) = 2a_2$.

Производная 3-го порядка:
$f'''(x) = (2a_2)' = 0$, так как $2a_2$ является константой.
Ответ: $f'''(x) = 0$.

Для n = 3

Исходная функция имеет вид: $f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$.

Производная 1-го порядка:
$f'(x) = (a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0)' = 3a_3x^2 + 2a_2x + a_1$.
Ответ: $f'(x) = 3a_3x^2 + 2a_2x + a_1$.

Производная 2-го порядка:
$f''(x) = (3a_3x^2 + 2a_2x + a_1)' = 6a_3x + 2a_2$.
Ответ: $f''(x) = 6a_3x + 2a_2$.

Производная 3-го порядка:
$f'''(x) = (6a_3x + 2a_2)' = 6a_3$.
Ответ: $f'''(x) = 6a_3$.

Для n = 4

Исходная функция имеет вид: $f(x) = a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$.

Производная 1-го порядка:
$f'(x) = (a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0)' = 4a_4x^3 + 3a_3x^2 + 2a_2x + a_1$.
Ответ: $f'(x) = 4a_4x^3 + 3a_3x^2 + 2a_2x + a_1$.

Производная 2-го порядка:
$f''(x) = (4a_4x^3 + 3a_3x^2 + 2a_2x + a_1)' = 12a_4x^2 + 6a_3x + 2a_2$.
Ответ: $f''(x) = 12a_4x^2 + 6a_3x + 2a_2$.

Производная 3-го порядка:
$f'''(x) = (12a_4x^2 + 6a_3x + 2a_2)' = 24a_4x + 6a_3$.
Ответ: $f'''(x) = 24a_4x + 6a_3$.