Номер 5.69, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.69, страница 136.

Условие.

5.69* Найдите производные порядков $n$ и $(n-1)$ функции

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где $n \ge 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Дана функция-многочлен n-ой степени: $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$, где $n \geq 2$.

Для нахождения производных высших порядков воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции и свойством линейности производной. Основное правило, которое мы будем использовать, это производная $m$-го порядка от $x^k$: $(x^k)^{(m)} = k(k-1)...(k-m+1)x^{k-m} = \frac{k!}{(k-m)!}x^{k-m}$ при $m \le k$. Если порядок производной $m$ больше степени $k$, то производная равна нулю: $(x^k)^{(m)} = 0$ при $m > k$.

Производная порядка $(n-1)$

Чтобы найти $f^{(n-1)}(x)$, мы должны найти $(n-1)$-ю производную от каждого слагаемого в многочлене $f(x)$ и сложить результаты.

1. Для всех слагаемых $a_k x^k$, у которых степень $k < n-1$ (т.е. для $a_{n-2}x^{n-2}, ..., a_1x, a_0$), их $(n-1)$-я производная будет равна нулю.

2. Для слагаемого $a_{n-1}x^{n-1}$ (степень $k = n-1$):
$(a_{n-1}x^{n-1})^{(n-1)} = a_{n-1} \cdot (n-1)(n-2)...(1) \cdot x^{(n-1)-(n-1)} = a_{n-1}(n-1)!x^0 = a_{n-1}(n-1)!$.

3. Для слагаемого $a_n x^n$ (степень $k = n$):
$(a_n x^n)^{(n-1)} = a_n \cdot n(n-1)...(n-(n-1)+1) \cdot x^{n-(n-1)} = a_n \cdot (n(n-1)...(2)) \cdot x^1 = a_n \frac{n!}{1!}x = a_n n! x$.

Складывая все ненулевые производные, получаем итоговый результат: $f^{(n-1)}(x) = a_n n! x + a_{n-1}(n-1)!$.

Ответ: $f^{(n-1)}(x) = a_n n! x + a_{n-1}(n-1)!$.

Производная порядка $n$

Чтобы найти $f^{(n)}(x)$, можно либо взять производную от уже найденной $f^{(n-1)}(x)$, либо вычислить ее напрямую из исходной функции $f(x)$.

Способ 1: Дифференцирование $f^{(n-1)}(x)$.
$f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)}(x))' = (a_n n! x + a_{n-1}(n-1)!)'$.
Первое слагаемое $a_n n! x$ является линейной функцией, ее производная равна $a_n n!$.
Второе слагаемое $a_{n-1}(n-1)!$ является константой, и ее производная равна 0.
Таким образом, $f^{(n)}(x) = a_n n!$.

Способ 2: Прямое вычисление из $f(x)$.
При нахождении $n$-ой производной от $f(x)$ все слагаемые $a_k x^k$, где $k < n$, обратятся в ноль. Единственным слагаемым, производная которого не будет нулевой, является слагаемое со старшей степенью $a_n x^n$.
$(a_n x^n)^{(n)} = a_n \cdot n(n-1)...(1) \cdot x^{n-n} = a_n n! x^0 = a_n n!$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $f^{(n)}(x) = a_n n!$.