Номер 5.69, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.69, страница 136.
№5.69 (с. 136)
Условие. №5.69 (с. 136)
скриншот условия

5.69* Найдите производные порядков $n$ и $(n-1)$ функции
$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где $n \ge 2$.
Решение 1. №5.69 (с. 136)

Решение 2. №5.69 (с. 136)

Решение 3. №5.69 (с. 136)

Решение 4. №5.69 (с. 136)
Дана функция-многочлен n-ой степени: $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$, где $n \geq 2$.
Для нахождения производных высших порядков воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции и свойством линейности производной. Основное правило, которое мы будем использовать, это производная $m$-го порядка от $x^k$: $(x^k)^{(m)} = k(k-1)...(k-m+1)x^{k-m} = \frac{k!}{(k-m)!}x^{k-m}$ при $m \le k$. Если порядок производной $m$ больше степени $k$, то производная равна нулю: $(x^k)^{(m)} = 0$ при $m > k$.
Производная порядка $(n-1)$
Чтобы найти $f^{(n-1)}(x)$, мы должны найти $(n-1)$-ю производную от каждого слагаемого в многочлене $f(x)$ и сложить результаты.
1. Для всех слагаемых $a_k x^k$, у которых степень $k < n-1$ (т.е. для $a_{n-2}x^{n-2}, ..., a_1x, a_0$), их $(n-1)$-я производная будет равна нулю.
2. Для слагаемого $a_{n-1}x^{n-1}$ (степень $k = n-1$):
$(a_{n-1}x^{n-1})^{(n-1)} = a_{n-1} \cdot (n-1)(n-2)...(1) \cdot x^{(n-1)-(n-1)} = a_{n-1}(n-1)!x^0 = a_{n-1}(n-1)!$.
3. Для слагаемого $a_n x^n$ (степень $k = n$):
$(a_n x^n)^{(n-1)} = a_n \cdot n(n-1)...(n-(n-1)+1) \cdot x^{n-(n-1)} = a_n \cdot (n(n-1)...(2)) \cdot x^1 = a_n \frac{n!}{1!}x = a_n n! x$.
Складывая все ненулевые производные, получаем итоговый результат: $f^{(n-1)}(x) = a_n n! x + a_{n-1}(n-1)!$.
Ответ: $f^{(n-1)}(x) = a_n n! x + a_{n-1}(n-1)!$.
Производная порядка $n$
Чтобы найти $f^{(n)}(x)$, можно либо взять производную от уже найденной $f^{(n-1)}(x)$, либо вычислить ее напрямую из исходной функции $f(x)$.
Способ 1: Дифференцирование $f^{(n-1)}(x)$.
$f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)}(x))' = (a_n n! x + a_{n-1}(n-1)!)'$.
Первое слагаемое $a_n n! x$ является линейной функцией, ее производная равна $a_n n!$.
Второе слагаемое $a_{n-1}(n-1)!$ является константой, и ее производная равна 0.
Таким образом, $f^{(n)}(x) = a_n n!$.
Способ 2: Прямое вычисление из $f(x)$.
При нахождении $n$-ой производной от $f(x)$ все слагаемые $a_k x^k$, где $k < n$, обратятся в ноль. Единственным слагаемым, производная которого не будет нулевой, является слагаемое со старшей степенью $a_n x^n$.
$(a_n x^n)^{(n)} = a_n \cdot n(n-1)...(1) \cdot x^{n-n} = a_n n! x^0 = a_n n!$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: $f^{(n)}(x) = a_n n!$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.69 расположенного на странице 136 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.69 (с. 136), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.