Номер 5.76, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.76, страница 140.

№5.76 (с. 140)
Условие. №5.76 (с. 140)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 140, номер 5.76, Условие

5.76 Определите промежутки выпуклости вверх (вниз), точки перегиба (если они есть) графика функции $y = f(x)$, если:

а) $f(x) = x^3 + 3x^2$;

б) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 4$;

в) $f(x) = -2x^3 + 3x^2$;

г) $f(x) = -4x^3 - 6x^2 + 7x$;

д) $f(x) = 5^x$;

е) $f(x) = (0,5)^x$;

ж) $f(x) = \log_2 x$;

з) $f(x) = \log_{0,7} x$;

и) $f(x) = \sin x$;

к) $f(x) = \cos x$;

л) $f(x) = \operatorname{tg} x$;

м) $f(x) = \operatorname{ctg} x$.

Решение 1. №5.76 (с. 140)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 140, номер 5.76, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 140, номер 5.76, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 140, номер 5.76, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 140, номер 5.76, Решение 1 (продолжение 4) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 140, номер 5.76, Решение 1 (продолжение 5) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 140, номер 5.76, Решение 1 (продолжение 6) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 140, номер 5.76, Решение 1 (продолжение 7) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 140, номер 5.76, Решение 1 (продолжение 8) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 140, номер 5.76, Решение 1 (продолжение 9) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 140, номер 5.76, Решение 1 (продолжение 10) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 140, номер 5.76, Решение 1 (продолжение 11) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 140, номер 5.76, Решение 1 (продолжение 12)
Решение 2. №5.76 (с. 140)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 140, номер 5.76, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 140, номер 5.76, Решение 2 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 140, номер 5.76, Решение 2 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 140, номер 5.76, Решение 2 (продолжение 4) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 140, номер 5.76, Решение 2 (продолжение 5) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 140, номер 5.76, Решение 2 (продолжение 6)
Решение 4. №5.76 (с. 140)

Для определения промежутков выпуклости и точек перегиба графика функции необходимо исследовать знак ее второй производной $f''(x)$. Если на некотором интервале $f''(x) > 0$, то на этом интервале функция выпукла вниз (вогнута). Если $f''(x) < 0$, то функция выпукла вверх (выпукла). Точка, в которой вторая производная меняет знак (и функция непрерывна), является точкой перегиба.

а) $f(x) = x^3 + 3x^2$

1. Находим первую и вторую производные:
$f'(x) = (x^3 + 3x^2)' = 3x^2 + 6x$
$f''(x) = (3x^2 + 6x)' = 6x + 6$

2. Находим точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
$f''(x) = 0 \implies 6x + 6 = 0 \implies x = -1$.

3. Определяем знаки второй производной на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.
При $x < -1$, $f''(x) < 0$, следовательно, график функции выпуклый вверх.
При $x > -1$, $f''(x) > 0$, следовательно, график функции выпуклый вниз.

4. В точке $x = -1$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба.
$f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 = -1 + 3 = 2$.
Точка перегиба: $(-1, 2)$.
Ответ: график функции выпуклый вверх на промежутке $(-\infty; -1)$, выпуклый вниз на промежутке $(-1; +\infty)$; точка перегиба $(-1; 2)$.

б) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 4$

1. Находим производные:
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 5$
$f''(x) = 6x - 6$

2. $f''(x) = 0 \implies 6x - 6 = 0 \implies x = 1$.

3. Знаки $f''(x)$:
При $x < 1$, $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).
При $x > 1$, $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).

4. $x = 1$ — точка перегиба.
$f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 5(1) - 4 = 1 - 3 + 5 - 4 = -1$.
Точка перегиба: $(1, -1)$.
Ответ: график функции выпуклый вверх на $(-\infty; 1)$, выпуклый вниз на $(1; +\infty)$; точка перегиба $(1; -1)$.

в) $f(x) = -2x^3 + 3x^2$

1. Находим производные:
$f'(x) = -6x^2 + 6x$
$f''(x) = -12x + 6$

2. $f''(x) = 0 \implies -12x + 6 = 0 \implies x = 1/2$.

3. Знаки $f''(x)$:
При $x < 1/2$, $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).
При $x > 1/2$, $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).

4. $x = 1/2$ — точка перегиба.
$f(1/2) = -2(1/2)^3 + 3(1/2)^2 = -2(1/8) + 3(1/4) = -1/4 + 3/4 = 1/2$.
Точка перегиба: $(1/2, 1/2)$.
Ответ: график функции выпуклый вниз на $(-\infty; 1/2)$, выпуклый вверх на $(1/2; +\infty)$; точка перегиба $(1/2; 1/2)$.

г) $f(x) = -4x^3 - 6x^2 + 7x$

1. Находим производные:
$f'(x) = -12x^2 - 12x + 7$
$f''(x) = -24x - 12$

2. $f''(x) = 0 \implies -24x - 12 = 0 \implies x = -1/2$.

3. Знаки $f''(x)$:
При $x < -1/2$, $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).
При $x > -1/2$, $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).

4. $x = -1/2$ — точка перегиба.
$f(-1/2) = -4(-1/2)^3 - 6(-1/2)^2 + 7(-1/2) = -4(-1/8) - 6(1/4) - 7/2 = 1/2 - 3/2 - 7/2 = -9/2$.
Точка перегиба: $(-1/2, -9/2)$.
Ответ: график функции выпуклый вниз на $(-\infty; -1/2)$, выпуклый вверх на $(-1/2; +\infty)$; точка перегиба $(-1/2; -9/2)$.

д) $f(x) = 5^x$

1. Находим производные:
$f'(x) = 5^x \ln 5$
$f''(x) = 5^x (\ln 5)^2$

2. Поскольку $5^x > 0$ и $(\ln 5)^2 > 0$ для любого $x$, то $f''(x) > 0$ на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: график функции выпуклый вниз на всей числовой прямой, точек перегиба нет.

е) $f(x) = (0,5)^x$

1. Находим производные:
$f'(x) = (0,5)^x \ln(0,5)$
$f''(x) = (0,5)^x (\ln(0,5))^2$

2. Поскольку $(0,5)^x > 0$ и $(\ln(0,5))^2 > 0$ для любого $x$, то $f''(x) > 0$ на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: график функции выпуклый вниз на всей числовой прямой, точек перегиба нет.

ж) $f(x) = \log_2 x$

1. Область определения функции $D(f) = (0; +\infty)$.
2. Находим производные:
$f(x) = \frac{\ln x}{\ln 2}$
$f'(x) = \frac{1}{x \ln 2}$
$f''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln 2}$

3. Для $x > 0$, $x^2 > 0$ и $\ln 2 > 0$, следовательно $f''(x) < 0$ на всей области определения.
Ответ: график функции выпуклый вверх на всем промежутке $(0; +\infty)$, точек перегиба нет.

з) $f(x) = \log_{0,7} x$

1. Область определения функции $D(f) = (0; +\infty)$.
2. Находим производные:
$f(x) = \frac{\ln x}{\ln 0,7}$
$f'(x) = \frac{1}{x \ln 0,7}$
$f''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln 0,7}$

3. Для $x > 0$, $x^2 > 0$. Поскольку $0 < 0,7 < 1$, то $\ln 0,7 < 0$. Значит, знаменатель $x^2 \ln 0,7$ отрицательный, и $f''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln 0,7} > 0$ на всей области определения.
Ответ: график функции выпуклый вниз на всем промежутке $(0; +\infty)$, точек перегиба нет.

и) $f(x) = \sin x$

1. Находим производные:
$f'(x) = \cos x$
$f''(x) = -\sin x$

2. $f''(x) = 0 \implies -\sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Знаки $f''(x)$:
На интервалах $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$, $\sin x > 0$, поэтому $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).
На интервалах $(\pi + 2\pi n, 2\pi(n+1))$, $\sin x < 0$, поэтому $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).

4. В точках $x = \pi n$ вторая производная меняет знак. $f(\pi n) = \sin(\pi n) = 0$.
Точки перегиба: $(\pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: график функции выпуклый вверх на промежутках $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$, выпуклый вниз на промежутках $(\pi + 2\pi n, 2\pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$; точки перегиба $(\pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.

к) $f(x) = \cos x$

1. Находим производные:
$f'(x) = -\sin x$
$f''(x) = -\cos x$

2. $f''(x) = 0 \implies -\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Знаки $f''(x)$:
На интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, $\cos x > 0$, поэтому $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).
На интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, $\cos x < 0$, поэтому $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).

4. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ вторая производная меняет знак. $f(\frac{\pi}{2} + \pi n) = \cos(\frac{\pi}{2} + \pi n) = 0$.
Точки перегиба: $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: график функции выпуклый вверх на промежутках $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, выпуклый вниз на промежутках $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$; точки перегиба $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.

л) $f(x) = \operatorname{tg} x$

1. Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2. Находим производные:
$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$
$f''(x) = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$

3. $f''(x) = 0 \implies 2\sin x = 0 \implies x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

4. Знаки $f''(x)$:
На интервалах $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n)$, $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).
На интервалах $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).

5. В точках $x = \pi n$ вторая производная меняет знак. $f(\pi n) = \operatorname{tg}(\pi n) = 0$.
Точки перегиба: $(\pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: график функции выпуклый вверх на промежутках $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n)$, выпуклый вниз на промежутках $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$; точки перегиба $(\pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.

м) $f(x) = \operatorname{ctg} x$

1. Область определения: $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2. Находим производные:
$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$
$f''(x) = \frac{2\cos x}{\sin^3 x}$

3. $f''(x) = 0 \implies 2\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

4. Знаки $f''(x)$:
На интервалах $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).
На интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$, $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).

5. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ вторая производная меняет знак. $f(\frac{\pi}{2} + \pi n) = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} + \pi n) = 0$.
Точки перегиба: $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: график функции выпуклый вниз на промежутках $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, выпуклый вверх на промежутках $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$; точки перегиба $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.76 расположенного на странице 140 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.76 (с. 140), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.