Номер 5.76, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.76, страница 140.

Условие.

5.76 Определите промежутки выпуклости вверх (вниз), точки перегиба (если они есть) графика функции $y = f(x)$, если:

а) $f(x) = x^3 + 3x^2$;

б) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 4$;

в) $f(x) = -2x^3 + 3x^2$;

г) $f(x) = -4x^3 - 6x^2 + 7x$;

д) $f(x) = 5^x$;

е) $f(x) = (0,5)^x$;

ж) $f(x) = \log_2 x$;

з) $f(x) = \log_{0,7} x$;

и) $f(x) = \sin x$;

к) $f(x) = \cos x$;

л) $f(x) = \operatorname{tg} x$;

м) $f(x) = \operatorname{ctg} x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для определения промежутков выпуклости и точек перегиба графика функции необходимо исследовать знак ее второй производной $f''(x)$. Если на некотором интервале $f''(x) > 0$, то на этом интервале функция выпукла вниз (вогнута). Если $f''(x) < 0$, то функция выпукла вверх (выпукла). Точка, в которой вторая производная меняет знак (и функция непрерывна), является точкой перегиба.

а) $f(x) = x^3 + 3x^2$

1. Находим первую и вторую производные:
$f'(x) = (x^3 + 3x^2)' = 3x^2 + 6x$
$f''(x) = (3x^2 + 6x)' = 6x + 6$

2. Находим точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.
$f''(x) = 0 \implies 6x + 6 = 0 \implies x = -1$.

3. Определяем знаки второй производной на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.
При $x < -1$, $f''(x) < 0$, следовательно, график функции выпуклый вверх.
При $x > -1$, $f''(x) > 0$, следовательно, график функции выпуклый вниз.

4. В точке $x = -1$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба.
$f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 = -1 + 3 = 2$.
Точка перегиба: $(-1, 2)$.
Ответ: график функции выпуклый вверх на промежутке $(-\infty; -1)$, выпуклый вниз на промежутке $(-1; +\infty)$; точка перегиба $(-1; 2)$.

б) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 4$

1. Находим производные:
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 5$
$f''(x) = 6x - 6$

2. $f''(x) = 0 \implies 6x - 6 = 0 \implies x = 1$.

3. Знаки $f''(x)$:
При $x < 1$, $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).
При $x > 1$, $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).

4. $x = 1$ — точка перегиба.
$f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 5(1) - 4 = 1 - 3 + 5 - 4 = -1$.
Точка перегиба: $(1, -1)$.
Ответ: график функции выпуклый вверх на $(-\infty; 1)$, выпуклый вниз на $(1; +\infty)$; точка перегиба $(1; -1)$.

в) $f(x) = -2x^3 + 3x^2$

1. Находим производные:
$f'(x) = -6x^2 + 6x$
$f''(x) = -12x + 6$

2. $f''(x) = 0 \implies -12x + 6 = 0 \implies x = 1/2$.

3. Знаки $f''(x)$:
При $x < 1/2$, $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).
При $x > 1/2$, $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).

4. $x = 1/2$ — точка перегиба.
$f(1/2) = -2(1/2)^3 + 3(1/2)^2 = -2(1/8) + 3(1/4) = -1/4 + 3/4 = 1/2$.
Точка перегиба: $(1/2, 1/2)$.
Ответ: график функции выпуклый вниз на $(-\infty; 1/2)$, выпуклый вверх на $(1/2; +\infty)$; точка перегиба $(1/2; 1/2)$.

г) $f(x) = -4x^3 - 6x^2 + 7x$

1. Находим производные:
$f'(x) = -12x^2 - 12x + 7$
$f''(x) = -24x - 12$

2. $f''(x) = 0 \implies -24x - 12 = 0 \implies x = -1/2$.

3. Знаки $f''(x)$:
При $x < -1/2$, $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).
При $x > -1/2$, $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).

4. $x = -1/2$ — точка перегиба.
$f(-1/2) = -4(-1/2)^3 - 6(-1/2)^2 + 7(-1/2) = -4(-1/8) - 6(1/4) - 7/2 = 1/2 - 3/2 - 7/2 = -9/2$.
Точка перегиба: $(-1/2, -9/2)$.
Ответ: график функции выпуклый вниз на $(-\infty; -1/2)$, выпуклый вверх на $(-1/2; +\infty)$; точка перегиба $(-1/2; -9/2)$.

д) $f(x) = 5^x$

1. Находим производные:
$f'(x) = 5^x \ln 5$
$f''(x) = 5^x (\ln 5)^2$

2. Поскольку $5^x > 0$ и $(\ln 5)^2 > 0$ для любого $x$, то $f''(x) > 0$ на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: график функции выпуклый вниз на всей числовой прямой, точек перегиба нет.

е) $f(x) = (0,5)^x$

1. Находим производные:
$f'(x) = (0,5)^x \ln(0,5)$
$f''(x) = (0,5)^x (\ln(0,5))^2$

2. Поскольку $(0,5)^x > 0$ и $(\ln(0,5))^2 > 0$ для любого $x$, то $f''(x) > 0$ на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: график функции выпуклый вниз на всей числовой прямой, точек перегиба нет.

ж) $f(x) = \log_2 x$

1. Область определения функции $D(f) = (0; +\infty)$.
2. Находим производные:
$f(x) = \frac{\ln x}{\ln 2}$
$f'(x) = \frac{1}{x \ln 2}$
$f''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln 2}$

3. Для $x > 0$, $x^2 > 0$ и $\ln 2 > 0$, следовательно $f''(x) < 0$ на всей области определения.
Ответ: график функции выпуклый вверх на всем промежутке $(0; +\infty)$, точек перегиба нет.

з) $f(x) = \log_{0,7} x$

1. Область определения функции $D(f) = (0; +\infty)$.
2. Находим производные:
$f(x) = \frac{\ln x}{\ln 0,7}$
$f'(x) = \frac{1}{x \ln 0,7}$
$f''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln 0,7}$

3. Для $x > 0$, $x^2 > 0$. Поскольку $0 < 0,7 < 1$, то $\ln 0,7 < 0$. Значит, знаменатель $x^2 \ln 0,7$ отрицательный, и $f''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln 0,7} > 0$ на всей области определения.
Ответ: график функции выпуклый вниз на всем промежутке $(0; +\infty)$, точек перегиба нет.

и) $f(x) = \sin x$

1. Находим производные:
$f'(x) = \cos x$
$f''(x) = -\sin x$

2. $f''(x) = 0 \implies -\sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Знаки $f''(x)$:
На интервалах $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$, $\sin x > 0$, поэтому $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).
На интервалах $(\pi + 2\pi n, 2\pi(n+1))$, $\sin x < 0$, поэтому $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).

4. В точках $x = \pi n$ вторая производная меняет знак. $f(\pi n) = \sin(\pi n) = 0$.
Точки перегиба: $(\pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: график функции выпуклый вверх на промежутках $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$, выпуклый вниз на промежутках $(\pi + 2\pi n, 2\pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$; точки перегиба $(\pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.

к) $f(x) = \cos x$

1. Находим производные:
$f'(x) = -\sin x$
$f''(x) = -\cos x$

2. $f''(x) = 0 \implies -\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Знаки $f''(x)$:
На интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, $\cos x > 0$, поэтому $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).
На интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, $\cos x < 0$, поэтому $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).

4. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ вторая производная меняет знак. $f(\frac{\pi}{2} + \pi n) = \cos(\frac{\pi}{2} + \pi n) = 0$.
Точки перегиба: $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: график функции выпуклый вверх на промежутках $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, выпуклый вниз на промежутках $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$; точки перегиба $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.

л) $f(x) = \operatorname{tg} x$

1. Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2. Находим производные:
$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$
$f''(x) = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$

3. $f''(x) = 0 \implies 2\sin x = 0 \implies x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

4. Знаки $f''(x)$:
На интервалах $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n)$, $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).
На интервалах $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).

5. В точках $x = \pi n$ вторая производная меняет знак. $f(\pi n) = \operatorname{tg}(\pi n) = 0$.
Точки перегиба: $(\pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: график функции выпуклый вверх на промежутках $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n)$, выпуклый вниз на промежутках $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$; точки перегиба $(\pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.

м) $f(x) = \operatorname{ctg} x$

1. Область определения: $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2. Находим производные:
$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$
$f''(x) = \frac{2\cos x}{\sin^3 x}$

3. $f''(x) = 0 \implies 2\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

4. Знаки $f''(x)$:
На интервалах $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $f''(x) > 0$ (выпуклость вниз).
На интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$, $f''(x) < 0$ (выпуклость вверх).

5. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ вторая производная меняет знак. $f(\frac{\pi}{2} + \pi n) = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} + \pi n) = 0$.
Точки перегиба: $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: график функции выпуклый вниз на промежутках $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, выпуклый вверх на промежутках $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$; точки перегиба $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, $n \in \mathbb{Z}$.