Номер 5.83, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.83, страница 145.
№5.83 (с. 145)
Условие. №5.83 (с. 145)
скриншот условия

5.83 a) $f(x) = \frac{1}{2}x + \sin x, [0; \pi]$;
б) $f(x) = \frac{1}{2}x + \sin x, [\pi; 2\pi]$;
В) $f(x) = -\frac{1}{2}x + \cos x, [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;
Г) $f(x) = -\frac{1}{2}x + \cos x, [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
Решение 1. №5.83 (с. 145)




Решение 2. №5.83 (с. 145)


Решение 4. №5.83 (с. 145)
а) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \frac{1}{2}x + \sin x$ на отрезке $[0; \pi]$, необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем сравнить их.
1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{2}x + \sin x)' = \frac{1}{2} + \cos x$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \implies \frac{1}{2} + \cos x = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2}$.
На интервале $(0; \pi)$ это уравнение имеет единственное решение $x = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.
3. Вычислим значения функции в критической точке $x = \frac{2\pi}{3}$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=\pi$:
$f(0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + \sin(0) = 0$.
$f(\pi) = \frac{1}{2} \cdot \pi + \sin(\pi) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$.
$f(\frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} + \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Сравним полученные значения. Используя приближенные значения $\pi \approx 3.14$ и $\sqrt{3} \approx 1.73$, получаем: $f(0) = 0$.
$f(\pi) = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
$f(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{3.14}{3} + \frac{1.73}{2} \approx 1.05 + 0.865 = 1.915$.
Наименьшее значение функции равно $0$, а наибольшее равно $\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: наименьшее значение $f(0)=0$, наибольшее значение $f(\frac{2\pi}{3})=\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.
б) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{2}x + \sin x$ на отрезке $[\pi; 2\pi]$.
1. Производная функции та же: $f'(x) = \frac{1}{2} + \cos x$.
2. Найдем критические точки из уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$. На интервале $(\pi; 2\pi)$ решением является $x = 2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$f(\pi) = \frac{1}{2} \cdot \pi + \sin(\pi) = \frac{\pi}{2}$.
$f(2\pi) = \frac{1}{2} \cdot 2\pi + \sin(2\pi) = \pi$.
$f(\frac{4\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\pi}{3} + \sin(\frac{4\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Сравним значения: $f(\pi) = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
$f(2\pi) = \pi \approx 3.14$.
$f(\frac{4\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{2 \cdot 3.14}{3} - \frac{1.73}{2} \approx 2.09 - 0.865 = 1.225$.
Наименьшее значение равно $\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$, а наибольшее равно $\pi$.
Ответ: наименьшее значение $f(\frac{4\pi}{3})=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$, наибольшее значение $f(2\pi)=\pi$.
в) Рассмотрим функцию $f(x) = -\frac{1}{2}x + \cos x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
1. Найдём производную функции:
$f'(x) = (-\frac{1}{2}x + \cos x)' = -\frac{1}{2} - \sin x$.
2. Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:
$-\frac{1}{2} - \sin x = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$.
На интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ единственное решение - это $x = -\frac{\pi}{6}$.
3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$f(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2}(-\frac{\pi}{2}) + \cos(-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}$.
$f(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{4} + 0 = -\frac{\pi}{4}$.
$f(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}(-\frac{\pi}{6}) + \cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Сравним полученные значения: $f(-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$.
$f(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785$.
$f(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{3.14}{12} + \frac{1.73}{2} \approx 0.26 + 0.865 = 1.125$.
Наименьшее значение равно $-\frac{\pi}{4}$, а наибольшее равно $\frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: наименьшее значение $f(\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{4}$, наибольшее значение $f(-\frac{\pi}{6})=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.
г) Рассмотрим функцию $f(x) = -\frac{1}{2}x + \cos x$ на отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
1. Производная функции: $f'(x) = -\frac{1}{2} - \sin x$.
2. Критические точки из уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$. На интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$ решением является $x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6}$.
3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$f(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
$f(\frac{3\pi}{2}) = -\frac{1}{2}(\frac{3\pi}{2}) + \cos(\frac{3\pi}{2}) = -\frac{3\pi}{4}$.
$f(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}(\frac{7\pi}{6}) + \cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{7\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Сравним полученные значения, которые все отрицательны:
$f(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785$.
$f(\frac{3\pi}{2}) = -\frac{3\pi}{4} \approx -2.356$.
$f(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{7\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -\frac{7 \cdot 3.14}{12} - \frac{1.73}{2} \approx -1.83 - 0.865 = -2.695$.
Наибольшее (наименее отрицательное) значение равно $-\frac{\pi}{4}$. Наименьшее значение равно $-\frac{7\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: наименьшее значение $f(\frac{7\pi}{6})=-\frac{7\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}$, наибольшее значение $f(\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{4}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.83 расположенного на странице 145 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.83 (с. 145), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.