Номер 5.83, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.83, страница 145.

Условие.

5.83 a) $f(x) = \frac{1}{2}x + \sin x, [0; \pi]$;

б) $f(x) = \frac{1}{2}x + \sin x, [\pi; 2\pi]$;

В) $f(x) = -\frac{1}{2}x + \cos x, [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$;

Г) $f(x) = -\frac{1}{2}x + \cos x, [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \frac{1}{2}x + \sin x$ на отрезке $[0; \pi]$, необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем сравнить их.
1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{2}x + \sin x)' = \frac{1}{2} + \cos x$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \implies \frac{1}{2} + \cos x = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2}$.
На интервале $(0; \pi)$ это уравнение имеет единственное решение $x = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.
3. Вычислим значения функции в критической точке $x = \frac{2\pi}{3}$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=\pi$:
$f(0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + \sin(0) = 0$.
$f(\pi) = \frac{1}{2} \cdot \pi + \sin(\pi) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$.
$f(\frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} + \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Сравним полученные значения. Используя приближенные значения $\pi \approx 3.14$ и $\sqrt{3} \approx 1.73$, получаем: $f(0) = 0$.
$f(\pi) = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
$f(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{3.14}{3} + \frac{1.73}{2} \approx 1.05 + 0.865 = 1.915$.
Наименьшее значение функции равно $0$, а наибольшее равно $\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: наименьшее значение $f(0)=0$, наибольшее значение $f(\frac{2\pi}{3})=\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{2}x + \sin x$ на отрезке $[\pi; 2\pi]$.
1. Производная функции та же: $f'(x) = \frac{1}{2} + \cos x$.
2. Найдем критические точки из уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$. На интервале $(\pi; 2\pi)$ решением является $x = 2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$f(\pi) = \frac{1}{2} \cdot \pi + \sin(\pi) = \frac{\pi}{2}$.
$f(2\pi) = \frac{1}{2} \cdot 2\pi + \sin(2\pi) = \pi$.
$f(\frac{4\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\pi}{3} + \sin(\frac{4\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Сравним значения: $f(\pi) = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
$f(2\pi) = \pi \approx 3.14$.
$f(\frac{4\pi}{3}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{2 \cdot 3.14}{3} - \frac{1.73}{2} \approx 2.09 - 0.865 = 1.225$.
Наименьшее значение равно $\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$, а наибольшее равно $\pi$.
Ответ: наименьшее значение $f(\frac{4\pi}{3})=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$, наибольшее значение $f(2\pi)=\pi$.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = -\frac{1}{2}x + \cos x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
1. Найдём производную функции:
$f'(x) = (-\frac{1}{2}x + \cos x)' = -\frac{1}{2} - \sin x$.
2. Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:
$-\frac{1}{2} - \sin x = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$.
На интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ единственное решение - это $x = -\frac{\pi}{6}$.
3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$f(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2}(-\frac{\pi}{2}) + \cos(-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}$.
$f(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{4} + 0 = -\frac{\pi}{4}$.
$f(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}(-\frac{\pi}{6}) + \cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Сравним полученные значения: $f(-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$.
$f(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785$.
$f(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{3.14}{12} + \frac{1.73}{2} \approx 0.26 + 0.865 = 1.125$.
Наименьшее значение равно $-\frac{\pi}{4}$, а наибольшее равно $\frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: наименьшее значение $f(\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{4}$, наибольшее значение $f(-\frac{\pi}{6})=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) Рассмотрим функцию $f(x) = -\frac{1}{2}x + \cos x$ на отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.
1. Производная функции: $f'(x) = -\frac{1}{2} - \sin x$.
2. Критические точки из уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$. На интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$ решением является $x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6}$.
3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$f(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
$f(\frac{3\pi}{2}) = -\frac{1}{2}(\frac{3\pi}{2}) + \cos(\frac{3\pi}{2}) = -\frac{3\pi}{4}$.
$f(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}(\frac{7\pi}{6}) + \cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{7\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. Сравним полученные значения, которые все отрицательны:
$f(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785$.
$f(\frac{3\pi}{2}) = -\frac{3\pi}{4} \approx -2.356$.
$f(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{7\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -\frac{7 \cdot 3.14}{12} - \frac{1.73}{2} \approx -1.83 - 0.865 = -2.695$.
Наибольшее (наименее отрицательное) значение равно $-\frac{\pi}{4}$. Наименьшее значение равно $-\frac{7\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: наименьшее значение $f(\frac{7\pi}{6})=-\frac{7\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}$, наибольшее значение $f(\frac{\pi}{2})=-\frac{\pi}{4}$.