Номер 5.81, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.81, страница 144.

Условие.

5.81 Как с помощью второй производной определить, является ли данная критическая точка точкой максимума (минимума) на промежутке?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для того чтобы с помощью второй производной определить, является ли критическая точка точкой максимума или минимума, используется тест второй производной. Этот метод применим, если функция $f(x)$ является дважды дифференцируемой в окрестности критической точки $x_0$, в которой ее первая производная равна нулю ($f'(x_0) = 0$). Алгоритм состоит из следующих шагов.

Шаг 1: Нахождение производных
Сначала находят первую производную $f'(x)$ и вторую производную $f''(x)$ функции.

Шаг 2: Нахождение критических точек
Решают уравнение $f'(x) = 0$, чтобы найти критические точки. Пусть $x_0$ — одна из таких точек.

Шаг 3: Проверка знака второй производной
Вычисляют значение второй производной в критической точке $x_0$ и анализируют ее знак:

• Если $f''(x_0) > 0$ (вторая производная в точке $x_0$ положительна), то в этой точке функция $f(x)$ имеет локальный минимум. Геометрически это означает, что график функции в окрестности точки $x_0$ является вогнутым (направлен выпуклостью вниз), напоминая чашу.
• Если $f''(x_0) < 0$ (вторая производная в точке $x_0$ отрицательна), то в этой точке функция $f(x)$ имеет локальный максимум. Геометрически это означает, что график функции в окрестности точки $x_0$ является выпуклым (направлен выпуклостью вверх), напоминая холм.
• Если $f''(x_0) = 0$, то тест с помощью второй производной не дает ответа о характере критической точки. В этой точке может быть как максимум или минимум, так и точка перегиба. Для дальнейшего исследования необходимо использовать другие методы, например, тест первой производной (анализ знака $f'(x)$ слева и справа от точки $x_0$) или исследовать производные более высоких порядков.

Важно отметить, что этот тест определяет только локальные экстремумы (максимумы и минимумы в некоторой малой окрестности точки). Для нахождения глобальных (абсолютных) экстремумов на замкнутом промежутке $[a, b]$ необходимо сравнить значения функции в точках локальных экстремумов, найденных внутри промежутка, со значениями функции на его концах, то есть $f(a)$ и $f(b)$.

Ответ: Чтобы определить характер критической точки $x_0$ (где $f'(x_0)=0$) с помощью второй производной, нужно вычислить значение второй производной $f''(x_0)$ в этой точке. Если $f''(x_0) > 0$, то $x_0$ — точка локального минимума. Если $f''(x_0) < 0$, то $x_0$ — точка локального максимума. Если $f''(x_0) = 0$, то тест не дает результата, и требуется дополнительное исследование.