Номер 5.87, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.87, страница 145.

Условие.

5.87 Для каждого значения $a$ найдите наибольшее значение функции $f(x) = |x - a|$ на отрезке $[-1; 1]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Нам необходимо найти наибольшее значение функции $f(x) = |x - a|$ на отрезке $x \in [-1; 1]$ для каждого действительного значения параметра $a$.

Функция $f(x) = |x - a|$ является непрерывной на всей числовой оси. Её график представляет собой V-образную кривую с вершиной (точкой минимума) в точке $x=a$. Функция убывает при $x < a$ и возрастает при $x > a$.

Согласно свойству непрерывных функций, наибольшее значение на замкнутом отрезке достигается либо в точках локального максимума, либо на концах отрезка. У функции $f(x)$ нет точек локального максимума (только точка глобального минимума при $x=a$). Следовательно, наибольшее значение на отрезке $[-1; 1]$ будет достигаться на одном из его концов: в точке $x = -1$ или в точке $x = 1$.

Вычислим значения функции в этих точках: $f(-1) = |-1 - a| = |a + 1|$ и $f(1) = |1 - a|$. Таким образом, задача сводится к нахождению максимального из этих двух значений: $M(a) = \max(|a + 1|, |1 - a|)$.

Для того чтобы найти это значение, рассмотрим два случая в зависимости от знака параметра $a$. Геометрически, мы ищем, какой из концов отрезка, $-1$ или $1$, находится дальше от точки $a$.

Рассмотрим первый случай: $a \ge 0$. В этом случае точка $a$ расположена правее или совпадает с серединой отрезка $[-1; 1]$ (точкой 0). Тогда точка $-1$ удалена от $a$ не меньше, чем точка $1$. Математически, $|a - (-1)| \ge |a - 1|$, то есть $|a+1| \ge |1-a|$. Следовательно, наибольшее значение равно $M(a) = |a+1|$. Поскольку $a \ge 0$, то $a+1 > 0$, и поэтому $|a+1| = a+1$. Итак, при $a \ge 0$, наибольшее значение функции равно $a+1$.

Рассмотрим второй случай: $a < 0$. В этом случае точка $a$ расположена левее середины отрезка. Тогда точка $1$ удалена от $a$ дальше, чем точка $-1$. Математически, $|a - 1| > |a - (-1)|$, то есть $|1-a| > |a+1|$. Следовательно, наибольшее значение равно $M(a) = |1-a|$. Поскольку $a < 0$, то $1-a > 1$, и поэтому $|1-a| = 1-a$. Итак, при $a < 0$, наибольшее значение функции равно $1-a$.

Объединяя оба случая, мы получаем итоговую зависимость наибольшего значения $M(a)$ от параметра $a$:$ M(a) = \begin{cases} 1+a, & \text{если } a \ge 0 \\ 1-a, & \text{если } a < 0 \end{cases} $Данное выражение можно записать в более компактной форме с помощью модуля: $M(a) = 1 + |a|$.

Ответ: Наибольшее значение функции $f(x)=|x-a|$ на отрезке $[-1; 1]$ равно $1+a$ при $a \ge 0$, и $1-a$ при $a < 0$. Эту зависимость можно выразить единой формулой: $1+|a|$.