Номер 5.90, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.90, страница 145.

Условие.

5.90* Для каждого отрицательного значения $b$ найдите наименьшее значение функции $f(x) = \frac{b - x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ на отрезке $[1; 2]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для нахождения наименьшего значения функции $f(x) = \frac{b - x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ на отрезке $[1; 2]$ при отрицательных значениях параметра $b$, необходимо исследовать поведение функции на этом отрезке. Наименьшее значение непрерывной функции на замкнутом интервале достигается либо на концах отрезка, либо в точках локального минимума внутри отрезка.

1. Найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = b - x$ и $v = \sqrt{x^2 + 1}$.

Производные $u'$ и $v'$ равны:

$u' = -1$

$v' = (\sqrt{x^2 + 1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Подставляем в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(-1)\sqrt{x^2 + 1} - (b - x)\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(\sqrt{x^2 + 1})^2} = \frac{\frac{-(x^2 + 1) - x(b - x)}{\sqrt{x^2 + 1}}}{x^2 + 1}$

Упростим числитель:

$f'(x) = \frac{-x^2 - 1 - bx + x^2}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{-bx - 1}{(x^2 + 1)^{3/2}}$

2. Найдем критические точки.

Приравняем производную к нулю для нахождения стационарных точек:

$f'(x) = 0 \implies -bx - 1 = 0 \implies bx = -1$

Поскольку по условию $b < 0$, мы можем разделить на $b$. Критическая точка $x_0$ равна:

$x_0 = -\frac{1}{b}$

Так как $b < 0$, то $x_0 > 0$.

3. Определим характер критической точки.

Проанализируем знак производной $f'(x) = \frac{-bx - 1}{(x^2 + 1)^{3/2}}$. Знаменатель всегда положителен. Знак производной определяется знаком числителя $-bx - 1$.

Поскольку $b < 0$, коэффициент $-b$ положителен. Таким образом, $-bx - 1$ является возрастающей линейной функцией от $x$.

• При $x < x_0 = -1/b$, имеем $-bx < 1$, так что $f'(x) < 0$. Функция $f(x)$ убывает.
• При $x > x_0 = -1/b$, имеем $-bx > 1$, так что $f'(x) > 0$. Функция $f(x)$ возрастает.

Следовательно, точка $x_0 = -1/b$ является точкой локального минимума.

4. Рассмотрим расположение критической точки относительно отрезка $[1; 2]$.

Возможны три случая в зависимости от значения параметра $b < 0$.

Случай 1: Критическая точка находится внутри отрезка, т.е. $1 \le x_0 \le 2$.

$1 \le -\frac{1}{b} \le 2$

Так как $b < 0$, при умножении на $b$ знаки неравенств меняются:

$b \ge -1$ и $-1 \ge 2b \implies b \le -1/2$.

Таким образом, этот случай соответствует $b \in [-1; -1/2]$.

В этом случае наименьшее значение функции на отрезке $[1; 2]$ достигается в точке локального минимума $x_0 = -1/b$.

Вычислим это значение:

$f(x_0) = f(-1/b) = \frac{b - (-1/b)}{\sqrt{(-1/b)^2 + 1}} = \frac{b + 1/b}{\sqrt{1/b^2 + 1}} = \frac{\frac{b^2+1}{b}}{\sqrt{\frac{1+b^2}{b^2}}} = \frac{\frac{b^2+1}{b}}{\frac{\sqrt{b^2+1}}{|b|}}$

Поскольку $b < 0$, $|b| = -b$.

$f(x_0) = \frac{b^2+1}{b} \cdot \frac{-b}{\sqrt{b^2+1}} = -\sqrt{b^2+1}$.

Случай 2: Критическая точка находится левее отрезка, т.е. $x_0 < 1$.

$-\frac{1}{b} < 1 \implies -1 > b$ (умножили на $b < 0$).

Этот случай соответствует $b < -1$.

На всем отрезке $[1; 2]$ выполняется условие $x > x_0$, следовательно, производная $f'(x) > 0$. Функция $f(x)$ возрастает на $[1; 2]$. Наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, в точке $x=1$.

Наименьшее значение: $f(1) = \frac{b - 1}{\sqrt{1^2 + 1}} = \frac{b - 1}{\sqrt{2}}$.

Случай 3: Критическая точка находится правее отрезка, т.е. $x_0 > 2$.

$-\frac{1}{b} > 2 \implies -1 < 2b$ (умножили на $b < 0$).

$b > -1/2$.

С учетом условия $b < 0$, этот случай соответствует $b \in (-1/2; 0)$.

На всем отрезке $[1; 2]$ выполняется условие $x < x_0$, следовательно, производная $f'(x) < 0$. Функция $f(x)$ убывает на $[1; 2]$. Наименьшее значение достигается в правой границе отрезка, в точке $x=2$.

Наименьшее значение: $f(2) = \frac{b - 2}{\sqrt{2^2 + 1}} = \frac{b - 2}{\sqrt{5}}$.

Итог:

Объединим полученные результаты. Наименьшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[1; 2]$ в зависимости от $b < 0$ равно:

• $\frac{b-1}{\sqrt{2}}$, если $b < -1$;
• $-\sqrt{b^2+1}$, если $-1 \le b \le -1/2$;
• $\frac{b-2}{\sqrt{5}}$, если $-1/2 < b < 0$.

Ответ: Наименьшее значение функции $f_{min}$ равно:$f_{min} = \begin{cases} \frac{b-1}{\sqrt{2}}, & \text{если } b < -1 \\ -\sqrt{b^2+1}, & \text{если } -1 \le b \le -1/2 \\ \frac{b-2}{\sqrt{5}}, & \text{если } -1/2 < b < 0 \end{cases}$