Номер 5.95, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.95, страница 148.
№5.95 (с. 148)
Условие. №5.95 (с. 148)
скриншот условия


5.95 Из круглого бревна диаметра $d$ надо вырезать балку прямоугольного сечения с основанием $a$ и высотой $h$ (рис. 129). При каких значениях $a$ и $h$ площадь сечения балки будет наибольшей?
Рис. 129
Решение 1. №5.95 (с. 148)

Решение 4. №5.95 (с. 148)
Пусть $a$ — основание и $h$ — высота прямоугольного сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром $d$. Прямоугольник вписан в окружность, поэтому его диагональ совпадает с диаметром окружности.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $h$ и гипотенузой $d$ справедливо равенство: $a^2 + h^2 = d^2$
Площадь прямоугольного сечения $S$ определяется формулой: $S = a \cdot h$
Нам необходимо найти, при каких значениях $a$ и $h$ площадь $S$ будет наибольшей. Для этого выразим одну из переменных из соотношения Пифагора и подставим в формулу площади. Выразим $h$: $h^2 = d^2 - a^2 \implies h = \sqrt{d^2 - a^2}$ (мы берем положительное значение, так как $h$ — это длина).
Теперь функция площади зависит только от одной переменной $a$: $S(a) = a \sqrt{d^2 - a^2}$
Чтобы найти максимальное значение функции, можно исследовать на экстремум ее квадрат, $S^2(a)$, так как это упростит вычисления (позволит избавиться от корня), а максимум для $S$ (поскольку $S > 0$) будет достигаться при том же значении $a$, что и для $S^2$. $f(a) = S^2(a) = (a \sqrt{d^2 - a^2})^2 = a^2(d^2 - a^2) = d^2a^2 - a^4$
Найдем производную функции $f(a)$ по переменной $a$: $f'(a) = (d^2a^2 - a^4)' = 2d^2a - 4a^3$
Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $2d^2a - 4a^3 = 0$ $2a(d^2 - 2a^2) = 0$
Так как $a$ — это длина основания, то $a > 0$. Следовательно, мы можем разделить уравнение на $2a$: $d^2 - 2a^2 = 0$ $2a^2 = d^2$ $a^2 = \frac{d^2}{2}$ $a = \sqrt{\frac{d^2}{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2}$
Теперь найдем соответствующее значение высоты $h$: $h^2 = d^2 - a^2 = d^2 - \frac{d^2}{2} = \frac{d^2}{2}$ $h = \sqrt{\frac{d^2}{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2}$
Таким образом, площадь сечения будет наибольшей, когда его основание равно высоте, то есть когда сечение является квадратом.
Ответ: Площадь сечения балки будет наибольшей при $a = h = \frac{d\sqrt{2}}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.95 расположенного на странице 148 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.95 (с. 148), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.