Номер 5.95, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.95, страница 148.

Условие.

5.95 Из круглого бревна диаметра $d$ надо вырезать балку прямоугольного сечения с основанием $a$ и высотой $h$ (рис. 129). При каких значениях $a$ и $h$ площадь сечения балки будет наибольшей?

Рис. 129

Решение 1.

Решение 4.

Пусть $a$ — основание и $h$ — высота прямоугольного сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром $d$. Прямоугольник вписан в окружность, поэтому его диагональ совпадает с диаметром окружности.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $h$ и гипотенузой $d$ справедливо равенство: $a^2 + h^2 = d^2$

Площадь прямоугольного сечения $S$ определяется формулой: $S = a \cdot h$

Нам необходимо найти, при каких значениях $a$ и $h$ площадь $S$ будет наибольшей. Для этого выразим одну из переменных из соотношения Пифагора и подставим в формулу площади. Выразим $h$: $h^2 = d^2 - a^2 \implies h = \sqrt{d^2 - a^2}$ (мы берем положительное значение, так как $h$ — это длина).

Теперь функция площади зависит только от одной переменной $a$: $S(a) = a \sqrt{d^2 - a^2}$

Чтобы найти максимальное значение функции, можно исследовать на экстремум ее квадрат, $S^2(a)$, так как это упростит вычисления (позволит избавиться от корня), а максимум для $S$ (поскольку $S > 0$) будет достигаться при том же значении $a$, что и для $S^2$. $f(a) = S^2(a) = (a \sqrt{d^2 - a^2})^2 = a^2(d^2 - a^2) = d^2a^2 - a^4$

Найдем производную функции $f(a)$ по переменной $a$: $f'(a) = (d^2a^2 - a^4)' = 2d^2a - 4a^3$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $2d^2a - 4a^3 = 0$ $2a(d^2 - 2a^2) = 0$

Так как $a$ — это длина основания, то $a > 0$. Следовательно, мы можем разделить уравнение на $2a$: $d^2 - 2a^2 = 0$ $2a^2 = d^2$ $a^2 = \frac{d^2}{2}$ $a = \sqrt{\frac{d^2}{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2}$

Теперь найдем соответствующее значение высоты $h$: $h^2 = d^2 - a^2 = d^2 - \frac{d^2}{2} = \frac{d^2}{2}$ $h = \sqrt{\frac{d^2}{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, площадь сечения будет наибольшей, когда его основание равно высоте, то есть когда сечение является квадратом.

Ответ: Площадь сечения балки будет наибольшей при $a = h = \frac{d\sqrt{2}}{2}$.