Номер 5.101, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.101, страница 149.

Условие.

5.101* Статуя высотой $a$ м возвышается на постаменте высотой $b$ м (рис. 131). На каком расстоянии от основания статуи должен встать наблюдатель, рост которого до уровня глаз $c$ м, $c < b$, чтобы видеть статую под наибольшим углом? Шириной постамента пренебречь. Решите задачу в общем виде, получите ответ в случае, если:

а) $a = 3, b = 2,5, c = 1,5$;

б) $a = 6, b = 3,7, c = 1,7$.

Рис. 131

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи в общем виде введем переменные, как указано на рисунке и в условии:

• $a$ – высота статуи.
• $b$ – высота постамента.
• $c$ – рост наблюдателя до уровня глаз.
• $x$ – искомое расстояние от наблюдателя до основания статуи.

Мы хотим найти такое значение $x$, при котором угол, под которым видна статуя, будет наибольшим. Обозначим этот угол как $\gamma$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника. Уровень глаз наблюдателя находится на высоте $c$. Горизонтальная линия, проведенная от глаз наблюдателя до вертикали статуи, является общим катетом $x$ для двух воображаемых прямоугольных треугольников.

Пусть $\alpha_2$ – угол между горизонтальной линией и направлением взгляда на вершину статуи. Вершина статуи находится на высоте $a+b$ от земли. Таким образом, вертикальный катет для этого угла равен $(a+b-c)$. Тангенс этого угла: $ \tan(\alpha_2) = \frac{a+b-c}{x} $

Пусть $\alpha_1$ – угол между горизонтальной линией и направлением взгляда на основание статуи. Основание статуи находится на высоте $b$ от земли. Вертикальный катет для этого угла равен $(b-c)$. Тангенс этого угла: $ \tan(\alpha_1) = \frac{b-c}{x} $

Угол $\gamma$, под которым видна статуя, является разностью углов $\alpha_2$ и $\alpha_1$: $ \gamma = \alpha_2 - \alpha_1 $

Для нахождения максимума угла $\gamma$ можно искать максимум его тангенса, так как в диапазоне от $0$ до $90^\circ$ функция тангенса монотонно возрастает. Используем формулу тангенса разности: $ \tan(\gamma) = \tan(\alpha_2 - \alpha_1) = \frac{\tan(\alpha_2) - \tan(\alpha_1)}{1 + \tan(\alpha_2)\tan(\alpha_1)} $

Подставим выражения для тангенсов: $ \tan(\gamma) = \frac{\frac{a+b-c}{x} - \frac{b-c}{x}}{1 + \frac{a+b-c}{x} \cdot \frac{b-c}{x}} = \frac{\frac{a}{x}}{1 + \frac{(a+b-c)(b-c)}{x^2}} = \frac{\frac{a}{x}}{\frac{x^2 + (a+b-c)(b-c)}{x^2}} $

Упростив выражение, получим функцию $f(x) = \tan(\gamma(x))$: $ f(x) = \frac{ax}{x^2 + (a+b-c)(b-c)} $

Чтобы найти максимум этой функции, найдем ее производную по $x$ и приравняем к нулю. Для удобства обозначим константу $K = (a+b-c)(b-c)$. $ f(x) = \frac{ax}{x^2 + K} $

Используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. $ u = ax \Rightarrow u' = a $
$ v = x^2 + K \Rightarrow v' = 2x $

$ f'(x) = \frac{a(x^2 + K) - ax(2x)}{(x^2 + K)^2} = \frac{ax^2 + aK - 2ax^2}{(x^2 + K)^2} = \frac{aK - ax^2}{(x^2 + K)^2} $

Приравняем производную к нулю. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю: $ aK - ax^2 = 0 $
$ ax^2 = aK $
$ x^2 = K $

Подставим обратно значение $K$: $ x^2 = (a+b-c)(b-c) $

Поскольку расстояние $x$ должно быть положительным, получаем общую формулу для искомого расстояния: $ x = \sqrt{(a+b-c)(b-c)} $

Теперь решим задачу для конкретных случаев.

а)

Дано: $a = 3$ м, $b = 2,5$ м, $c = 1,5$ м.
Подставим значения в общую формулу:
$ x = \sqrt{(3 + 2,5 - 1,5)(2,5 - 1,5)} $
$ x = \sqrt{(4)(1)} $
$ x = \sqrt{4} = 2 $
Ответ: 2 м.

б)

Дано: $a = 6$ м, $b = 3,7$ м, $c = 1,7$ м.
Подставим значения в общую формулу:
$ x = \sqrt{(6 + 3,7 - 1,7)(3,7 - 1,7)} $
$ x = \sqrt{(8)(2)} $
$ x = \sqrt{16} = 4 $
Ответ: 4 м.