Номер 5.98, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.98, страница 148.

Условие.

5.98* Корабль $K$ стоит в 9 км от ближайшей точки $B$ прямолинейного берега (рис. 130). С корабля нужно послать курьера в лагерь $L$, находящийся на берегу и расположенный в 15 км (считая по берегу) от точки $B$. В каком пункте $P$ берега курьер должен пристать, чтобы попасть в лагерь за кратчайшее время, если он идёт пешком со скоростью 5 км/ч, а на вёслах — 4 км/ч?

Рис. 130

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи необходимо найти точку $P$ на берегу, которая минимизирует общее время в пути курьера от корабля $K$ до лагеря $L$. Путь состоит из двух участков: от корабля $K$ до точки $P$ на берегу (на вёслах) и от точки $P$ до лагеря $L$ (пешком по берегу).

Введем переменные, основываясь на данных из условия и рисунка:

• Расстояние от корабля $K$ до ближайшей точки на берегу $B$: $KB = 9$ км.
• Расстояние от точки $B$ до лагеря $L$ по берегу: $BL = 15$ км.
• Скорость на вёслах: $v_1 = 4$ км/ч.
• Скорость пешком: $v_2 = 5$ км/ч.

Пусть точка $P$, в которой курьер пристанет к берегу, находится на расстоянии $x$ км от точки $B$ в сторону лагеря $L$. Таким образом, $BP = x$. Так как курьер должен пристать к берегу где-то между точкой $B$ и лагерем $L$, то $x$ может изменяться в пределах от $0$ до $15$ км, то есть $x \in [0, 15]$.

Теперь выразим через $x$ длины двух участков пути:

1. Участок на вёслах (от $K$ до $P$):
   Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle KBP$. Катеты этого треугольника равны $KB=9$ км и $BP=x$ км. Длина гипотенузы $KP$ находится по теореме Пифагора: $S_1 = KP = \sqrt{KB^2 + BP^2} = \sqrt{9^2 + x^2} = \sqrt{81 + x^2}$ км. Время, затраченное на этот участок: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{\sqrt{81 + x^2}}{4}$ ч.
2. Участок пешком (от $P$ до $L$):
   Расстояние по берегу от точки $P$ до лагеря $L$ равно: $S_2 = PL = BL - BP = 15 - x$ км. Время, затраченное на этот участок: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{15 - x}{5}$ ч.

Общее время в пути $T$ является функцией от $x$:$T(x) = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{81 + x^2}}{4} + \frac{15 - x}{5}$

Чтобы найти кратчайшее время, нам нужно найти минимальное значение функции $T(x)$ на отрезке $[0, 15]$. Для этого найдем производную функции $T(x)$ по $x$:$T'(x) = \left( \frac{\sqrt{81 + x^2}}{4} + \frac{15 - x}{5} \right)' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2\sqrt{81 + x^2}} \cdot (81 + x^2)' + \frac{1}{5} \cdot (15 - x)'$$T'(x) = \frac{1}{8\sqrt{81 + x^2}} \cdot 2x - \frac{1}{5} = \frac{x}{4\sqrt{81 + x^2}} - \frac{1}{5}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$T'(x) = 0 \implies \frac{x}{4\sqrt{81 + x^2}} - \frac{1}{5} = 0$$\frac{x}{4\sqrt{81 + x^2}} = \frac{1}{5}$$5x = 4\sqrt{81 + x^2}$

Так как $x$ представляет собой расстояние, то $x \ge 0$. Мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:$(5x)^2 = (4\sqrt{81 + x^2})^2$$25x^2 = 16(81 + x^2)$$25x^2 = 1296 + 16x^2$$25x^2 - 16x^2 = 1296$$9x^2 = 1296$$x^2 = \frac{1296}{9} = 144$$x = \sqrt{144} = 12$

Мы получили критическую точку $x = 12$. Эта точка принадлежит нашему отрезку $[0, 15]$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно исследовать знак производной или сравнить значения функции в этой точке и на концах отрезка.

• При $x=0$: $T(0) = \frac{\sqrt{81+0}}{4} + \frac{15-0}{5} = \frac{9}{4} + 3 = 2.25 + 3 = 5.25$ ч.
• При $x=12$: $T(12) = \frac{\sqrt{81+12^2}}{4} + \frac{15-12}{5} = \frac{\sqrt{81+144}}{4} + \frac{3}{5} = \frac{\sqrt{225}}{4} + \frac{3}{5} = \frac{15}{4} + 0.6 = 3.75 + 0.6 = 4.35$ ч.
• При $x=15$: $T(15) = \frac{\sqrt{81+15^2}}{4} + \frac{15-15}{5} = \frac{\sqrt{81+225}}{4} + 0 = \frac{\sqrt{306}}{4} \approx \frac{17.49}{4} \approx 4.37$ ч.

Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшее время достигается при $x=12$ км.

Ответ: Курьер должен пристать в точке $P$, расположенной на берегу на расстоянии 12 км от точки $B$ в сторону лагеря $L$.