Номер 5.103, страница 155 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.103, страница 155.

Условие.

5.103° Объясните, как найти асимптоты графика функции $y = f(x)$.

Решение 1.

Решение 4.

Асимптота графика функции — это прямая, к которой неограниченно приближается график функции при удалении его точки в бесконечность. Существует три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты

Прямая вида $x = a$ является вертикальной асимптотой графика функции $y = f(x)$, если при приближении $x$ к точке $a$ (слева или справа) значение функции стремится к бесконечности. Формально, это означает, что хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности:

$\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ или $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$

Как найти:

1. Найти область определения функции $D(f)$.

2. Найти точки разрыва функции. Это точки, которые не входят в область определения, но являются предельными для нее (например, нули знаменателя для дробно-рациональной функции). Эти точки являются кандидатами на вертикальные асимптоты.

3. Для каждой такой точки $a$ вычислить односторонние пределы. Если хотя бы один из них равен $+\infty$ или $-\infty$, то прямая $x=a$ — вертикальная асимптота.

Ответ: Вертикальные асимптоты $x=a$ ищутся в точках разрыва функции $a$, где хотя бы один из односторонних пределов $\lim_{x \to a^{\pm}} f(x)$ равен $\pm\infty$.

Горизонтальные асимптоты

Прямая вида $y = b$ является горизонтальной асимптотой графика функции $y = f(x)$ при $x \to +\infty$ (или $x \to -\infty$), если значение функции стремится к числу $b$ при стремлении $x$ к бесконечности.

Как найти:

1. Вычислить предел функции при $x \to +\infty$: $b_1 = \lim_{x \to +\infty} f(x)$.

2. Если этот предел существует и равен конечному числу $b_1$, то прямая $y = b_1$ — правосторонняя горизонтальная асимптота.

3. Вычислить предел функции при $x \to -\infty$: $b_2 = \lim_{x \to -\infty} f(x)$.

4. Если этот предел существует и равен конечному числу $b_2$, то прямая $y = b_2$ — левосторонняя горизонтальная асимптота. Функция может иметь одну, две или ни одной горизонтальной асимптоты.

Ответ: Горизонтальные асимптоты $y=b$ находятся путем вычисления пределов $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$. Если предел конечен, то такая асимптота существует.

Наклонные асимптоты

Прямая вида $y = kx + b$ (где $k \ne 0$) является наклонной асимптотой графика функции $y = f(x)$ при $x \to +\infty$ (или $x \to -\infty$), если расстояние между графиком функции и этой прямой стремится к нулю при $x \to \pm\infty$.

Как найти:

Наклонные асимптоты ищут, если пределы $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ равны бесконечности (т.е. горизонтальных асимптот нет). Поиск ведется отдельно для $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$.

1. Найти коэффициент наклона $k$: $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$.

2. Если предел $k$ существует, конечен и не равен нулю, то ищем коэффициент $b$. Если $k=0$, то это случай горизонтальной асимптоты. Если предел $k$ не существует или равен $\infty$, наклонной асимптоты нет.

3. Найти сдвиг по оси ординат $b$: $b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx)$.

4. Если предел $b$ также существует и конечен, то прямая $y = kx + b$ является наклонной асимптотой. Эти шаги повторяются для $x \to -\infty$, чтобы найти возможную другую асимптоту.

Ответ: Наклонная асимптота $y=kx+b$ существует, если существуют конечные пределы $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ (причем $k \ne 0$) и $b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx)$. Расчеты проводятся отдельно для $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$.