Номер 5.109, страница 156 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.109, страница 156.

Условие.

5.109 a) $y = \frac{4x + 2}{x - 2}$;

б) $y = \frac{3x - 2}{2x + 2}$.

Решение 1.

Решение 4.

а) Для того чтобы найти функцию, обратную к функции $y = \frac{4x + 2}{x - 2}$, необходимо выразить переменную $x$ через $y$. Это стандартная процедура для нахождения обратной функции.
1. Домножим обе части уравнения на знаменатель $(x - 2)$, при условии, что $x \neq 2$ (это область определения исходной функции):
$y(x - 2) = 4x + 2$
2. Раскроем скобки в левой части уравнения:
$yx - 2y = 4x + 2$
3. Сгруппируем все слагаемые, содержащие $x$, в одной стороне уравнения, а остальные — в другой:
$yx - 4x = 2y + 2$
4. Вынесем общий множитель $x$ за скобку:
$x(y - 4) = 2y + 2$
5. Выразим $x$, разделив обе части на $(y - 4)$. Это действие возможно, если $y - 4 \neq 0$, то есть $y \neq 4$. Это условие определяет область значений исходной функции.
$x = \frac{2y + 2}{y - 4}$
6. Чтобы получить запись обратной функции в привычном виде, где аргумент обозначается как $x$, а функция как $y$, поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$y = \frac{2x + 2}{x - 4}$
Это и есть искомая обратная функция.
Ответ: $y = \frac{2x + 2}{x - 4}$.

б) Аналогично найдем функцию, обратную к $y = \frac{3x - 2}{2x + 2}$.
1. Область определения исходной функции задается условием $2x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Домножим обе части на знаменатель $(2x + 2)$:
$y(2x + 2) = 3x - 2$
2. Раскроем скобки:
$2yx + 2y = 3x - 2$
3. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а остальные перенесем в правую:
$2yx - 3x = -2y - 2$
4. Вынесем $x$ за скобку:
$x(2y - 3) = -2y - 2$
5. Выразим $x$, разделив обе части на $(2y - 3)$. Это возможно при $2y - 3 \neq 0$, то есть $y \neq \frac{3}{2}$.
$x = \frac{-2y - 2}{2y - 3}$
Для более удобного вида можно вынести знак минус из числителя и знаменателя:
$x = \frac{-(2y + 2)}{-(3 - 2y)} = \frac{2y + 2}{3 - 2y}$
6. Поменяем местами $x$ и $y$ для получения итоговой формулы обратной функции:
$y = \frac{2x + 2}{3 - 2x}$
Это обратная функция.
Ответ: $y = \frac{2x + 2}{3 - 2x}$.