Номер 5.116, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.116, страница 161.

Условие.

5.116* а) Найдите промежутки монотонности, экстремумы, точки перегиба, промежутки выпуклости вверх или вниз графика функции $y = \frac{x}{9}(4+x)^3$. Постройте график этой функции.

б) Найдите промежутки монотонности, экстремумы, асимптоты графика функции $y = \frac{1}{x^2} - 2x$ и постройте её график.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Проведем полное исследование функции $y = \frac{x}{9}(4 + x)^3$.

1. Область определения функции.
Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Промежутки монотонности и экстремумы.
Для нахождения промежутков монотонности и экстремумов найдем первую производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$y' = \left(\frac{x}{9}(4+x)^3\right)' = \frac{1}{9} \left[ 1 \cdot (4+x)^3 + x \cdot 3(4+x)^2 \cdot 1 \right]$
Вынесем общий множитель $(4+x)^2$:
$y' = \frac{1}{9} (4+x)^2 \left[ (4+x) + 3x \right] = \frac{1}{9} (4+x)^2 (4+4x) = \frac{4}{9} (x+4)^2 (x+1)$
Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$\frac{4}{9} (x+4)^2 (x+1) = 0$
Критические точки: $x_1 = -4$, $x_2 = -1$.
Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty, -4)$, $(-4, -1)$, $(-1, +\infty)$.

• При $x \in (-\infty, -4)$, $y'(-5) = \frac{4}{9}(-1)^2(-4) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-4, -1)$, $y'(-2) = \frac{4}{9}(2)^2(-1) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-1, +\infty)$, $y'(0) = \frac{4}{9}(4)^2(1) > 0$, функция возрастает.

Поскольку в точке $x = -4$ производная не меняет знак, эта точка не является точкой экстремума.
В точке $x = -1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
Найдем значение функции в точке минимума:
$y_{min} = y(-1) = \frac{-1}{9}(4-1)^3 = \frac{-1}{9}(3)^3 = \frac{-27}{9} = -3$.
Точка минимума: $(-1, -3)$.

3. Промежутки выпуклости и точки перегиба.
Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба найдем вторую производную:
$y'' = \left(\frac{4}{9} (x+4)^2 (x+1)\right)' = \frac{4}{9} \left[ 2(x+4)(x+1) + (x+4)^2 \cdot 1 \right]$
Вынесем общий множитель $(x+4)$:
$y'' = \frac{4}{9} (x+4) [2(x+1) + (x+4)] = \frac{4}{9} (x+4) [2x+2+x+4] = \frac{4}{9} (x+4)(3x+6) = \frac{4}{3} (x+4)(x+2)$
Приравняем вторую производную к нулю:
$\frac{4}{3} (x+4)(x+2) = 0$
Точки возможного перегиба: $x_1 = -4$, $x_2 = -2$.
Определим знаки второй производной на интервалах $(-\infty, -4)$, $(-4, -2)$, $(-2, +\infty)$.

• При $x \in (-\infty, -4)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
• При $x \in (-4, -2)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
• При $x \in (-2, +\infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

Поскольку в точках $x=-4$ и $x=-2$ вторая производная меняет знак, обе они являются абсциссами точек перегиба.
Найдем ординаты этих точек:
$y(-4) = \frac{-4}{9}(4-4)^3 = 0$. Точка перегиба $(-4, 0)$.
$y(-2) = \frac{-2}{9}(4-2)^3 = \frac{-2}{9}(8) = -\frac{16}{9}$. Точка перегиба $(-2, -16/9)$.

4. Построение графика.
Используем полученные данные для построения графика:

• Пересечение с осями координат: $(0,0)$ и $(-4,0)$.
• Точка минимума: $(-1, -3)$.
• Точки перегиба: $(-4, 0)$ и $(-2, -16/9)$.

Ответ:
Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty, -1]$ и возрастает на $[-1, +\infty)$.
Экстремумы: точка минимума $(-1, -3)$.
Точки перегиба: $(-4, 0)$ и $(-2, -16/9)$.
Промежутки выпуклости: график выпуклый вниз на $(-\infty, -4) \cup (-2, +\infty)$ и выпуклый вверх на $(-4, -2)$.

---

б)

Проведем полное исследование функции $y = \frac{1}{x^2} - 2x$.

1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$.
Область определения: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Асимптоты графика.
Вертикальная асимптота:
Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва $x=0$.
$\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x^2} - 2x\right) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} - \lim_{x \to 0} 2x = +\infty - 0 = +\infty$.
Следовательно, прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.
Наклонная асимптота:
Ищем асимптоту вида $y=kx+b$ при $x \to \pm\infty$.
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{1}{x^2} - 2x}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{x^3} - 2\right) = 0 - 2 = -2$.
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left[\left(\frac{1}{x^2} - 2x\right) - (-2x)\right] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2} = 0$.
Следовательно, прямая $y=-2x$ является наклонной асимптотой.

3. Промежутки монотонности и экстремумы.
Найдем первую производную:
$y' = \left(\frac{1}{x^2} - 2x\right)' = (x^{-2} - 2x)' = -2x^{-3} - 2 = -\frac{2}{x^3} - 2 = -2\left(\frac{1}{x^3} + 1\right) = -2\frac{1+x^3}{x^3}$.
Приравняем производную к нулю:
$-2\frac{1+x^3}{x^3} = 0 \Rightarrow 1+x^3 = 0 \Rightarrow x^3 = -1 \Rightarrow x=-1$.
Критическая точка $x = -1$. Точка $x=0$ (где производная не существует) не входит в область определения.
Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, +\infty)$.

• При $x \in (-\infty, -1)$: $y'(-2) = -2\frac{1-8}{-8} < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-1, 0)$: $y'(-0.5) = -2\frac{1-0.125}{-0.125} > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0, +\infty)$: $y'(1) = -2\frac{1+1}{1} < 0$, функция убывает.

В точке $x = -1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
Найдем значение функции в точке минимума:
$y_{min} = y(-1) = \frac{1}{(-1)^2} - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.
Точка минимума: $(-1, 3)$.

4. Построение графика.
Используем полученные данные для построения графика:

• Вертикальная асимптота: $x=0$.
• Наклонная асимптота: $y=-2x$.
• Точка минимума: $(-1, 3)$.
• Пересечение с осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{1}{x^2}-2x=0 \Rightarrow 1=2x^3 \Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$. Точка $(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}, 0)$.

Ответ:
Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty, -1]$ и на $(0, +\infty)$, возрастает на $[-1, 0)$.
Экстремумы: точка минимума $(-1, 3)$.
Асимптоты: вертикальная $x=0$ и наклонная $y=-2x$.