Номер 5.119, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.119, страница 162.

Условие.

5.119* Найдите точки перегиба графика функции $y = \frac{3}{8}x^4 - x^3 + 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Точки перегиба графика функции — это точки, в которых меняется направление его выпуклости. Чтобы найти точки перегиба, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти вторую производную функции $y''(x)$.
2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Это абсциссы возможных точек перегиба.
3. Исследовать знак второй производной на интервалах, на которые найденные точки разбивают область определения. Если при переходе через точку знак $y''$ меняется, то это точка перегиба.
4. Найти ординаты (значения $y$) точек перегиба, подставив их абсциссы в исходную функцию.

Дана функция: $y = \frac{3}{8}x^4 - x^3 + 2$.

1. Нахождение второй производной
Сначала найдем первую производную $y'(x)$:
$y' = \left(\frac{3}{8}x^4 - x^3 + 2\right)' = \frac{3}{8} \cdot 4x^3 - 3x^2 = \frac{12}{8}x^3 - 3x^2 = \frac{3}{2}x^3 - 3x^2$.
Теперь найдем вторую производную $y''(x)$:
$y'' = \left(\frac{3}{2}x^3 - 3x^2\right)' = \frac{3}{2} \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x = \frac{9}{2}x^2 - 6x$.

2. Нахождение возможных точек перегиба
Приравняем вторую производную к нулю. Так как $y''$ является многочленом, она существует для всех $x$.
$\frac{9}{2}x^2 - 6x = 0$
Вынесем за скобки общий множитель $3x$:
$3x\left(\frac{3}{2}x - 2\right) = 0$
Это уравнение дает два корня:
$3x = 0 \implies x_1 = 0$
$\frac{3}{2}x - 2 = 0 \implies \frac{3}{2}x = 2 \implies x = \frac{2 \cdot 2}{3} \implies x_2 = \frac{4}{3}$.

3. Исследование знака второй производной
Точки $x=0$ и $x=\frac{4}{3}$ делят числовую ось на три интервала. Проверим знак $y''$ на каждом из них.
- Интервал $(-\infty; 0)$: возьмем $x = -1$.
$y''(-1) = \frac{9}{2}(-1)^2 - 6(-1) = \frac{9}{2} + 6 = 10.5 > 0$. График функции вогнутый (выпуклый вниз).
- Интервал $(0; \frac{4}{3})$: возьмем $x = 1$.
$y''(1) = \frac{9}{2}(1)^2 - 6(1) = 4.5 - 6 = -1.5 < 0$. График функции выпуклый (выпуклый вверх).
- Интервал $(\frac{4}{3}; +\infty)$: возьмем $x = 2$.
$y''(2) = \frac{9}{2}(2)^2 - 6(2) = \frac{9}{2} \cdot 4 - 12 = 18 - 12 = 6 > 0$. График функции вогнутый (выпуклый вниз).
Так как в точках $x=0$ и $x=\frac{4}{3}$ знак второй производной меняется, обе они являются абсциссами точек перегиба.

4. Вычисление координат точек перегиба
Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x_1$ и $x_2$ в исходное уравнение $y = \frac{3}{8}x^4 - x^3 + 2$.
- Для $x_1 = 0$:
$y_1 = \frac{3}{8}(0)^4 - (0)^3 + 2 = 2$.
Первая точка перегиба: $(0, 2)$.
- Для $x_2 = \frac{4}{3}$:
$y_2 = \frac{3}{8}\left(\frac{4}{3}\right)^4 - \left(\frac{4}{3}\right)^3 + 2 = \frac{3}{8} \cdot \frac{256}{81} - \frac{64}{27} + 2 = \frac{32}{27} - \frac{64}{27} + \frac{54}{27} = \frac{32 - 64 + 54}{27} = \frac{22}{27}$.
Вторая точка перегиба: $\left(\frac{4}{3}, \frac{22}{27}\right)$.

Ответ: $(0, 2)$, $\left(\frac{4}{3}, \frac{22}{27}\right)$.