Номер 5.118, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.118, страница 162.

Условие.

5.118* Найдите множество значений функции и постройте её график:

а) $y = \frac{x^2 - 3x + 1}{x^2 + 1}$;

б) $y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 3}$,

в) $y = \frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 + 1}$;

г) $y = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) $y = \frac{x^2 - 3x + 1}{x^2 + 1}$

1. Нахождение множества значений функции.

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как знаменатель $x^2 + 1 > 0$ при любых $x$.

Чтобы найти множество значений, выразим $x$ через $y$. Рассмотрим данное уравнение как уравнение относительно $x$ при заданном параметре $y$:

$y(x^2 + 1) = x^2 - 3x + 1$

$yx^2 + y = x^2 - 3x + 1$

$(y-1)x^2 + 3x + (y-1) = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Оно имеет действительные решения, если его дискриминант $D \geq 0$.

Рассмотрим два случая:

1) Если $y-1 \neq 0$, то есть $y \neq 1$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4(y-1)(y-1) = 9 - 4(y-1)^2$.

Условие $D \geq 0$ дает нам неравенство:

$9 - 4(y-1)^2 \geq 0$

$4(y-1)^2 \leq 9$

$(y-1)^2 \leq \frac{9}{4}$

$|y-1| \leq \frac{3}{2}$

$-\frac{3}{2} \leq y-1 \leq \frac{3}{2}$

$1 - \frac{3}{2} \leq y \leq 1 + \frac{3}{2}$

$-\frac{1}{2} \leq y \leq \frac{5}{2}$

2) Если $y-1 = 0$, то есть $y=1$. Уравнение принимает вид $3x = 0$, откуда $x=0$. Это означает, что значение $y=1$ достигается при $x=0$. Данное значение входит в найденный промежуток.

Следовательно, множество значений функции $E(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{5}{2}]$.

2. Построение графика.

• Асимптоты: Вертикальных асимптот нет. Горизонтальная асимптота: $y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 3x + 1}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - 3/x + 1/x^2}{1 + 1/x^2} = 1$. Таким образом, $y=1$ — горизонтальная асимптота.
• Точки пересечения с осями:
  С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{0-0+1}{0+1} = 1$. Точка $(0, 1)$.
  С осью Ox ($y=0$): $x^2 - 3x + 1 = 0 \implies x = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Точки $(\frac{3-\sqrt{5}}{2}, 0) \approx (0.38, 0)$ и $(\frac{3+\sqrt{5}}{2}, 0) \approx (2.62, 0)$.
• Экстремумы и монотонность: Найдем производную: $y' = \frac{(2x-3)(x^2+1) - (x^2-3x+1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{3x^2 - 3}{(x^2+1)^2} = \frac{3(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}$.
  $y'=0$ при $x=1$ и $x=-1$.
  При $x < -1$ и $x > 1$, $y' > 0$ (функция возрастает).
  При $-1 < x < 1$, $y' < 0$ (функция убывает).
  $x=-1$ — точка максимума. $y(-1) = \frac{1+3+1}{1+1} = \frac{5}{2}$. Точка максимума $(-1, \frac{5}{2})$.
  $x=1$ — точка минимума. $y(1) = \frac{1-3+1}{1+1} = -\frac{1}{2}$. Точка минимума $(1, -\frac{1}{2})$.

Описание графика: График начинается вблизи асимптоты $y=1$ при $x \to -\infty$, возрастает до точки максимума $(-1, 2.5)$, затем убывает, пересекая ось Oy в точке $(0, 1)$ и ось Ox в точке $\approx (0.38, 0)$, достигает минимума в точке $(1, -0.5)$. После этого график возрастает, пересекает ось Ox в точке $\approx (2.62, 0)$ и асимптотически приближается к прямой $y=1$ снизу при $x \to +\infty$.

Ответ: Множество значений функции $E(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{5}{2}]$. График имеет горизонтальную асимптоту $y=1$, точку максимума $(-1, \frac{5}{2})$ и точку минимума $(1, -\frac{1}{2})$.

---

б) $y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 3} = \frac{(x-1)^2}{x^2 + 3}$

1. Нахождение множества значений функции.

Так как $(x-1)^2 \geq 0$ и $x^2 + 3 > 0$, то $y \geq 0$ для всех $x$. Минимум $y=0$ достигается при $x=1$.

Найдем максимальное значение. Преобразуем уравнение:

$y(x^2 + 3) = x^2 - 2x + 1$

$(y-1)x^2 + 2x + (3y-1) = 0$

1) Если $y \neq 1$. Дискриминант $D = 2^2 - 4(y-1)(3y-1) = 4 - 4(3y^2 - 4y + 1) = -12y^2 + 16y$.

Для существования решений $D \geq 0$: $-12y^2 + 16y \geq 0 \implies 12y^2 - 16y \leq 0 \implies 4y(3y-4) \leq 0$. Корни $y=0$ и $y=4/3$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется для $0 \leq y \leq \frac{4}{3}$.

2) Если $y=1$. Уравнение становится $2x + (3-1) = 0 \implies 2x+2=0 \implies x=-1$. Значение $y=1$ достигается.

Объединяя результаты, получаем множество значений $E(y) = [0, \frac{4}{3}]$.

2. Построение графика.

• Асимптоты: Вертикальных асимптот нет. Горизонтальная асимптота $y=1$.
• Точки пересечения с осями:
  С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{1}{3}$. Точка $(0, \frac{1}{3})$.
  С осью Ox ($y=0$): $(x-1)^2 = 0 \implies x=1$. График касается оси Ox в точке $(1, 0)$.
• Экстремумы и монотонность: $y' = \frac{2(x-1)(x^2+3) - (x-1)^2(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{2(x-1)(x^2+3 - x(x-1))}{(x^2+3)^2} = \frac{2(x-1)(2x+3)}{(x^2+3)^2}$ Неверно. Пересчитаем производную: $y' = \frac{(2x-2)(x^2+3) - (x^2-2x+1)(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{2x^3+6x-2x^2-6 - (2x^3-4x^2+2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{2x^2+4x-6}{(x^2+3)^2} = \frac{2(x+3)(x-1)}{(x^2+3)^2}$.
  $y'=0$ при $x=1$ и $x=-3$.
  $x=1$ — точка минимума. $y(1) = 0$. Точка минимума $(1, 0)$.
  $x=-3$ — точка максимума. $y(-3) = \frac{(-3-1)^2}{(-3)^2+3} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$. Точка максимума $(-3, \frac{4}{3})$.

Описание графика: График приближается к асимптоте $y=1$ слева, возрастает до точки максимума $(-3, 4/3)$, затем убывает, пересекая ось Oy в точке $(0, 1/3)$, и касается оси Ox в точке минимума $(1, 0)$. После этого график возрастает и асимптотически приближается к $y=1$ снизу.

Ответ: Множество значений функции $E(y) = [0, \frac{4}{3}]$. График имеет горизонтальную асимптоту $y=1$, точку максимума $(-3, \frac{4}{3})$ и точку минимума $(1, 0)$, где он касается оси Ox.

---

в) $y = \frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 + 1}$

1. Нахождение множества значений функции.

Заметим, что $y_в(x) = \frac{x^2+3x+1}{x^2+1} = \frac{(-x)^2-3(-x)+1}{(-x)^2+1} = y_а(-x)$. Это означает, что график функции (в) симметричен графику функции (а) относительно оси Oy. Следовательно, множество значений у них совпадает.

$E(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{5}{2}]$.

2. Построение графика.

• Асимптоты: Горизонтальная асимптота $y=1$.
• Точки пересечения с осями:
  С осью Oy ($x=0$): $y = 1$. Точка $(0, 1)$.
  С осью Ox ($y=0$): $x^2 + 3x + 1 = 0 \implies x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Точки $(\frac{-3-\sqrt{5}}{2}, 0) \approx (-2.62, 0)$ и $(\frac{-3+\sqrt{5}}{2}, 0) \approx (-0.38, 0)$.
• Экстремумы и монотонность: Исходя из симметрии с функцией (а), экстремумы будут при $x=-(-1)=1$ (максимум) и $x=-(1)=-1$ (минимум).
  Проверим производной: $y' = \frac{(2x+3)(x^2+1) - (x^2+3x+1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{-3x^2+3}{(x^2+1)^2} = \frac{-3(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}$.
  $y'=0$ при $x=1$ и $x=-1$.
  $x=1$ — точка максимума. $y(1) = \frac{1+3+1}{1+1} = \frac{5}{2}$. Точка $(1, \frac{5}{2})$.
  $x=-1$ — точка минимума. $y(-1) = \frac{1-3+1}{1+1} = -\frac{1}{2}$. Точка $(-1, -\frac{1}{2})$.

Описание графика: График начинается вблизи асимптоты $y=1$ при $x \to -\infty$, убывает, пересекая ось Ox в точке $\approx (-2.62, 0)$, достигает минимума в точке $(-1, -0.5)$, затем возрастает, пересекая Ox в точке $\approx (-0.38, 0)$ и Oy в точке $(0, 1)$, достигает максимума в точке $(1, 2.5)$ и далее убывает, асимптотически приближаясь к $y=1$ сверху.

Ответ: Множество значений функции $E(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{5}{2}]$. График имеет горизонтальную асимптоту $y=1$, точку максимума $(1, \frac{5}{2})$ и точку минимума $(-1, -\frac{1}{2})$.

---

г) $y = \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 3} = \frac{(x+1)^2}{x^2 + 3}$

1. Нахождение множества значений функции.

Заметим, что $y_г(x) = y_б(-x)$. График функции (г) симметричен графику функции (б) относительно оси Oy. Множества значений совпадают.

$E(y) = [0, \frac{4}{3}]$.

2. Построение графика.

• Асимптоты: Горизонтальная асимптота $y=1$.
• Точки пересечения с осями:
  С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{1}{3}$. Точка $(0, \frac{1}{3})$.
  С осью Ox ($y=0$): $(x+1)^2 = 0 \implies x=-1$. График касается оси Ox в точке $(-1, 0)$.
• Экстремумы и монотонность: Экстремумы симметричны точкам из (б): минимум при $x=-1$, максимум при $x=3$.
  Проверим производной: $y' = \frac{2(x+1)(x^2+3) - (x+1)^2(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{2(x+1)(x^2+3 - x^2-x)}{(x^2+3)^2} = \frac{2(x+1)(3-x)}{(x^2+3)^2}$.
  $y'=0$ при $x=-1$ и $x=3$.
  $x=-1$ — точка минимума. $y(-1) = 0$. Точка $(-1, 0)$.
  $x=3$ — точка максимума. $y(3) = \frac{(3+1)^2}{3^2+3} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$. Точка $(3, \frac{4}{3})$.

Описание графика: График приближается к асимптоте $y=1$ слева, убывает до точки минимума $(-1, 0)$, где касается оси Ox. Затем возрастает, пересекая Oy в точке $(0, 1/3)$, достигает максимума в точке $(3, 4/3)$ и после этого убывает, приближаясь к асимптоте $y=1$ сверху.

Ответ: Множество значений функции $E(y) = [0, \frac{4}{3}]$. График имеет горизонтальную асимптоту $y=1$, точку максимума $(3, \frac{4}{3})$ и точку минимума $(-1, 0)$, где он касается оси Ox.