Номер 5.111, страница 156 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.111, страница 156.

Условие.

5.111 Постройте график функции:

а) $y = \frac{-2x + 12}{x - 4}$;

б) $y = \left|\frac{-2x + 12}{x - 4}\right|$;

В) $y = \frac{-2|x| + 12}{|x| - 4}$;

Г) $y = \left|\frac{-2|x| + 12}{|x| - 4}\right|$.

Решение 1.

Решение 4.

а) $y = \frac{-2x + 12}{x - 4}$

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола. Для построения преобразуем выражение, выделив целую часть:
$y = \frac{-2x + 8 + 4}{x - 4} = \frac{-2(x - 4) + 4}{x - 4} = \frac{-2(x - 4)}{x - 4} + \frac{4}{x - 4} = -2 + \frac{4}{x - 4}$.

Этот график можно получить из графика функции $y = \frac{4}{x}$ с помощью двух последовательных преобразований:

1. Сдвиг графика $y = \frac{4}{x}$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.
2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

Определим асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x - 4 = 0 \implies x = 4$.
• Горизонтальная асимптота: $y = -2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{-2(0) + 12}{0 - 4} = \frac{12}{-4} = -3$. Точка $(0, -3)$.
• С осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{-2x + 12}{x - 4} \implies -2x + 12 = 0 \implies x = 6$. Точка $(6, 0)$.

Для большей точности найдем еще несколько точек:

• При $x=2$: $y = -2 + \frac{4}{2 - 4} = -2 - 2 = -4$. Точка $(2, -4)$.
• При $x=5$: $y = -2 + \frac{4}{5 - 4} = -2 + 4 = 2$. Точка $(5, 2)$.

Теперь можно построить график. Чертим асимптоты $x=4$ и $y=-2$. Отмечаем найденные точки и проводим через них две ветви гиперболы, приближающиеся к асимптотам.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x=4$ и горизонтальной асимптотой $y=-2$. Ветви гиперболы расположены в квадрантах II и IV относительно системы координат, образованной асимптотами. График проходит через точки $(0, -3)$ и $(6, 0)$.

б) $y = \left| \frac{-2x + 12}{x - 4} \right|$

График этой функции $y = |f(x)|$ можно получить из графика функции $f(x) = \frac{-2x + 12}{x - 4}$ из пункта а).

Правило построения графика $y = |f(x)|$: часть графика $y = f(x)$, расположенная выше или на оси Ox ($y \ge 0$), остается без изменений, а часть графика, расположенная ниже оси Ox ($y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox.

Из пункта а) мы знаем, что $f(x) \ge 0$ при $x \in (4, 6]$ и $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, 4) \cup (6, \infty)$.

• Ветвь гиперболы на интервале $(4, 6]$ остается на месте.
• Часть ветви на интервале $(6, \infty)$ и вся ветвь на интервале $(-\infty, 4)$ отражаются симметрично относительно оси Ox.

Характеристики нового графика:

• Вертикальная асимптота: $x = 4$.
• Горизонтальная асимптота: так как при $x \to \pm\infty$ функция $f(x) \to -2$, то $|f(x)| \to |-2| = 2$. Таким образом, горизонтальная асимптота — $y=2$.
• Точка пересечения с осью Ox: $(6, 0)$. В этой точке график имеет излом (острый пик).
• Точка пересечения с осью Oy: $y = |f(0)| = |-3| = 3$. Точка $(0, 3)$.
• Точка $(2, -4)$ из графика а) переходит в точку $(2, 4)$.

Ответ: График получается из графика гиперболы из пункта а) путем отражения всех частей графика, лежащих ниже оси Ox, в верхнюю полуплоскость. Вертикальная асимптота $x=4$ сохраняется. Горизонтальная асимптота становится $y=2$. График целиком лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$) и имеет излом в точке $(6, 0)$.

в) $y = \frac{-2|x| + 12}{|x| - 4}$

Эта функция является четной, так как $y(-x) = \frac{-2|-x| + 12}{|-x| - 4} = \frac{-2|x| + 12}{|x| - 4} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.

Для построения графика $y=f(|x|)$ можно построить график $y=f(x)$ (из пункта а)) для $x \ge 0$ и затем отразить эту часть симметрично относительно оси Oy.

1. При $x \ge 0$, имеем $|x|=x$, и функция совпадает с функцией из пункта а): $y = \frac{-2x + 12}{x - 4}$. Строим эту часть графика: это правая ветвь гиперболы с асимптотами $x=4$ и $y=-2$, проходящая через точки $(0,-3)$, $(5,2)$, $(6,0)$.
2. Отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить часть графика для $x < 0$.

Характеристики итогового графика:

• Симметрия относительно оси Oy.
• Вертикальные асимптоты: $|x| - 4 = 0 \implies |x| = 4 \implies x = 4$ и $x = -4$.
• Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, $y \approx \frac{-2|x|}{|x|} = -2$. Асимптота $y=-2$.
• Пересечение с осью Oy: $(0, -3)$.
• Пересечение с осью Ox: $-2|x| + 12 = 0 \implies |x| = 6 \implies x=6$ и $x=-6$. Точки $(6,0)$ и $(-6,0)$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Он имеет две вертикальные асимптоты $x=-4$ и $x=4$, и одну горизонтальную $y=-2$. График состоит из трех частей: центральная часть между асимптотами, похожая на параболу ветвями вниз и проходящая через точку $(0,-3)$, и две боковые ветви гиперболического вида, пересекающие ось Ox в точках $(-6,0)$ и $(6,0)$.

г) $y = \left| \frac{-2|x| + 12}{|x| - 4} \right|$

Этот график можно получить двумя способами:

1. Взять график из пункта в) и применить к нему преобразование $y=|g(x)|$. То есть, отразить части графика, лежащие ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси.
2. Взять график из пункта б), который является графиком функции $y=h(x)$, и построить график $y=h(|x|)$. То есть, оставить часть графика для $x \ge 0$ и отразить ее симметрично относительно оси Oy.

Воспользуемся первым способом. График функции из пункта в) лежит ниже оси Ox на интервалах $(-\infty, -6) \cup (-4, 4) \cup (6, \infty)$. Эти части мы отражаем вверх. Части на интервалах $(-6, -4) \cup (4, 6)$ лежат выше оси Ox и остаются без изменений.

Характеристики итогового графика:

• График симметричен относительно оси Oy и целиком лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).
• Вертикальные асимптоты: $x = -4$ и $x = 4$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 2$ (так как асимптота $y=-2$ из пункта в) отражается вверх).
• Пересечение с осью Oy: точка $(0,-3)$ из пункта в) отражается в точку $(0,3)$.
• Точки пересечения с осью Ox: $(-6,0)$ и $(6,0)$. В этих точках график имеет изломы.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy и расположен не ниже оси Ox. Он имеет две вертикальные асимптоты $x=-4$ и $x=4$ и одну горизонтальную $y=2$. График имеет изломы в точках $(-6,0)$ и $(6,0)$ и пересекает ось Oy в точке $(0,3)$.