Номер 5.108, страница 155 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.108, страница 155.

Условие.

5.108 а) $y = \frac{x+2}{x-2}$;

б) $y = \frac{x-2}{x+2}$.

Решение 1.

Решение 4.

а) $y = \frac{x+2}{x-2}$

Для решения задачи проведем полное исследование функции.

1. Область определения функции.

Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю:
$x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
Следовательно, область определения $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y(0) = \frac{0+2}{0-2} = -1$. Точка пересечения: $(0; -1)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$\frac{x+2}{x-2} = 0 \Rightarrow x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Точка пересечения: $(-2; 0)$.

3. Четность и нечетность.

Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = \frac{-x+2}{-x-2} = \frac{-(x-2)}{-(x+2)} = \frac{x-2}{x+2}$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

4. Асимптоты графика.

Вертикальная асимптота:
Знаменатель обращается в ноль при $x=2$. Найдем пределы слева и справа от этой точки:
$\lim_{x \to 2^-} \frac{x+2}{x-2} = \frac{4}{0^-} = -\infty$
$\lim_{x \to 2^+} \frac{x+2}{x-2} = \frac{4}{0^+} = +\infty$
Прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота:
Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+2}{x-2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(1+2/x)}{x(1-2/x)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1+2/x}{1-2/x} = \frac{1}{1} = 1$.
Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$:
$y' = \frac{(x+2)'(x-2) - (x+2)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+2) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x-2-x-2}{(x-2)^2} = \frac{-4}{(x-2)^2}$.
Так как знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен, а числитель равен -4 (отрицателен), то $y' < 0$ для всех $x$ из области определения.
Следовательно, функция убывает на всем протяжении своей области определения: на интервалах $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Точек экстремума нет, так как производная нигде не обращается в ноль.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

Найдем вторую производную:
$y'' = (\frac{-4}{(x-2)^2})' = (-4(x-2)^{-2})' = -4(-2)(x-2)^{-3} = \frac{8}{(x-2)^3}$.
Знак второй производной зависит от знака знаменателя $(x-2)^3$:
- При $x < 2$, $(x-2)^3 < 0$, следовательно $y'' < 0$. На интервале $(-\infty; 2)$ график функции выпуклый вверх (вогнутый).
- При $x > 2$, $(x-2)^3 > 0$, следовательно $y'' > 0$. На интервале $(2; +\infty)$ график функции выпуклый вниз (выпуклый).
Точек перегиба нет, так как в точке $x=2$, где меняется знак выпуклости, функция не определена.

Ответ:
Исследование функции $y = \frac{x+2}{x-2}$ показало, что ее график — гипербола со следующими свойствами:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
- Асимптоты: вертикальная $x=2$ и горизонтальная $y=1$.
- Пересечение с осями координат в точках $(-2; 0)$ и $(0; -1)$.
- Функция монотонно убывает на интервалах $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$, экстремумов нет.
- График является выпуклым вверх на $(-\infty; 2)$ и выпуклым вниз на $(2; +\infty)$.

---

б) $y = \frac{x-2}{x+2}$

Проведем полное исследование функции по аналогии с предыдущим пунктом.

1. Область определения функции.

Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.
Область определения $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y(0) = \frac{0-2}{0+2} = -1$. Точка пересечения: $(0; -1)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$\frac{x-2}{x+2} = 0 \Rightarrow x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$. Точка пересечения: $(2; 0)$.

3. Четность и нечетность.

Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = \frac{-x-2}{-x+2} = \frac{-(x+2)}{-(x-2)} = \frac{x+2}{x-2}$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида.

4. Асимптоты графика.

Вертикальная асимптота:
Знаменатель равен нулю при $x=-2$. Найдем пределы:
$\lim_{x \to -2^-} \frac{x-2}{x+2} = \frac{-4}{0^-} = +\infty$
$\lim_{x \to -2^+} \frac{x-2}{x+2} = \frac{-4}{0^+} = -\infty$
Прямая $x=-2$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота:
Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-2}{x+2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(1-2/x)}{x(1+2/x)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1-2/x}{1+2/x} = \frac{1}{1} = 1$.
Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную:
$y' = \frac{(x-2)'(x+2) - (x-2)(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{1 \cdot (x+2) - (x-2) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{x+2-x+2}{(x+2)^2} = \frac{4}{(x+2)^2}$.
Так как $(x+2)^2 > 0$ и числитель 4 положителен, $y' > 0$ для всех $x$ из области определения.
Следовательно, функция возрастает на всей области определения: на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.
Точек экстремума нет.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

Найдем вторую производную:
$y'' = (\frac{4}{(x+2)^2})' = (4(x+2)^{-2})' = 4(-2)(x+2)^{-3} = \frac{-8}{(x+2)^3}$.
Знак $y''$ зависит от знака $(x+2)^3$:
- При $x < -2$, $(x+2)^3 < 0$, следовательно $y'' > 0$. На интервале $(-\infty; -2)$ график функции выпуклый вниз (выпуклый).
- При $x > -2$, $(x+2)^3 > 0$, следовательно $y'' < 0$. На интервале $(-2; +\infty)$ график функции выпуклый вверх (вогнутый).
Точек перегиба нет.

Ответ:
Исследование функции $y = \frac{x-2}{x+2}$ показало, что ее график — гипербола со следующими свойствами:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
- Асимптоты: вертикальная $x=-2$ и горизонтальная $y=1$.
- Пересечение с осями координат в точках $(2; 0)$ и $(0; -1)$.
- Функция монотонно возрастает на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$, экстремумов нет.
- График является выпуклым вниз на $(-\infty; -2)$ и выпуклым вверх на $(-2; +\infty)$.