Номер 5.104, страница 155 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.104, страница 155.

Условие.

5.104 Найдите асимптоты графика функции:

а) $y = \frac{2x^2 + 1}{x}$;

б) $y = \frac{2x^2 - 1}{x}$;

В) $y = \frac{2x^2 - 5x + 5}{x - 2}$;

Г) $y = \frac{3x^2 + 2x - 1}{x + 1}$;

Д) $y = \frac{x^2 - 2x + 1}{3x + 1}$;

е) $y = \frac{x^2 + 2x + 1}{2x - 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = \frac{2x^2 + 1}{x}$

1. Вертикальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты существуют в точках разрыва функции. Данная функция имеет разрыв в точке, где знаменатель равен нулю.

$x = 0$.

Найдём односторонние пределы в этой точке:

$\lim_{x \to 0^-} \frac{2x^2 + 1}{x} = \frac{1}{-0} = -\infty$

$\lim_{x \to 0^+} \frac{2x^2 + 1}{x} = \frac{1}{+0} = +\infty$

Поскольку пределы равны бесконечности, прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.

2. Наклонные асимптоты.

Ищем асимптоту в виде $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1}{x^2} = \lim_{x \to \infty} (2 + \frac{1}{x^2}) = 2$.

$b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{2x^2 + 1}{x} - 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1 - 2x^2}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$.

Таким образом, прямая $y = 2x$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=0$, наклонная асимптота $y=2x$.

б) $y = \frac{2x^2 - 1}{x}$

1. Вертикальные асимптоты.

Знаменатель обращается в нуль при $x=0$.

$\lim_{x \to 0^-} \frac{2x^2 - 1}{x} = \frac{-1}{-0} = +\infty$

$\lim_{x \to 0^+} \frac{2x^2 - 1}{x} = \frac{-1}{+0} = -\infty$

Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой.

2. Наклонные асимптоты.

Ищем асимптоту в виде $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 1}{x^2} = \lim_{x \to \infty} (2 - \frac{1}{x^2}) = 2$.

$b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{2x^2 - 1}{x} - 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 1 - 2x^2}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{x} = 0$.

Прямая $y = 2x$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=0$, наклонная асимптота $y=2x$.

в) $y = \frac{2x^2 - 5x + 5}{x - 2}$

1. Вертикальные асимптоты.

Знаменатель равен нулю при $x-2=0$, то есть $x=2$. Проверим значение числителя в этой точке: $2(2)^2 - 5(2) + 5 = 8 - 10 + 5 = 3 \neq 0$. Следовательно, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

2. Наклонные асимптоты.

Ищем асимптоту в виде $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 5x + 5}{x(x - 2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 5x + 5}{x^2 - 2x} = 2$.

$b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{2x^2 - 5x + 5}{x - 2} - 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 5x + 5 - 2x(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - 5x + 5 - 2x^2 + 4x}{x - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x + 5}{x - 2} = -1$.

Прямая $y = 2x - 1$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, наклонная асимптота $y=2x-1$.

г) $y = \frac{3x^2 + 2x - 1}{x + 1}$

1. Вертикальные асимптоты.

Знаменатель равен нулю при $x=-1$. Проверим значение числителя в этой точке: $3(-1)^2 + 2(-1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0$.

Поскольку и числитель, и знаменатель равны нулю, имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Разложим числитель на множители: $3x^2 + 2x - 1 = (3x-1)(x+1)$.

Тогда функцию можно упростить:

$y = \frac{(3x-1)(x+1)}{x+1} = 3x - 1$, при $x \neq -1$.

График функции — это прямая $y=3x-1$ с выколотой точкой при $x=-1$. Таким образом, у функции нет вертикальных асимптот. В точке $x=-1$ находится точка устранимого разрыва.

2. Наклонные асимптоты.

Поскольку функция (за исключением одной точки) является прямой линией, она не приближается к какой-либо другой прямой на бесконечности. Следовательно, наклонных асимптот у функции нет.

Ответ: асимптот нет.

д) $y = \frac{x^2 - 2x + 1}{3x + 1}$

1. Вертикальные асимптоты.

Знаменатель равен нулю при $3x+1=0$, то есть $x=-1/3$. Числитель в этой точке: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = (-1/3 - 1)^2 = (-4/3)^2 = 16/9 \neq 0$. Следовательно, прямая $x=-1/3$ является вертикальной асимптотой.

2. Наклонные асимптоты.

Ищем асимптоту в виде $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{x(3x + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{3x^2 + x} = \frac{1}{3}$.

$b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2 - 2x + 1}{3x + 1} - \frac{1}{3}x) = \lim_{x \to \infty} \frac{3(x^2 - 2x + 1) - x(3x + 1)}{3(3x + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 6x + 3 - 3x^2 - x}{9x + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{-7x + 3}{9x + 3} = -\frac{7}{9}$.

Прямая $y = \frac{1}{3}x - \frac{7}{9}$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=-1/3$, наклонная асимптота $y = \frac{1}{3}x - \frac{7}{9}$.

е) $y = \frac{x^2 + 2x + 1}{2x - 1}$

1. Вертикальные асимптоты.

Знаменатель равен нулю при $2x-1=0$, то есть $x=1/2$. Числитель в этой точке: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = (1/2 + 1)^2 = (3/2)^2 = 9/4 \neq 0$. Следовательно, прямая $x=1/2$ является вертикальной асимптотой.

2. Наклонные асимптоты.

Ищем асимптоту в виде $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x + 1}{x(2x - 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x + 1}{2x^2 - x} = \frac{1}{2}$.

$b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2 + 2x + 1}{2x - 1} - \frac{1}{2}x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2(x^2 + 2x + 1) - x(2x - 1)}{2(2x - 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 4x + 2 - 2x^2 + x}{4x - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x + 2}{4x - 2} = \frac{5}{4}$.

Прямая $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{4}$ является наклонной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=1/2$, наклонная асимптота $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{4}$.