Номер 5.105, страница 155 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.105, страница 155.

Условие.

5.105° Какую функцию называют дробно-линейной функцией?

Решение 1.

Решение 4.

Дробно-линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида:
$y = \frac{ax+b}{cx+d}$
Здесь $x$ — независимая переменная, а $a, b, c, d$ — некоторые заданные числа (коэффициенты). Для того чтобы функция являлась дробно-линейной, на эти коэффициенты накладываются два обязательных условия.

Условия для коэффициентов:

1. Коэффициент $c$ не должен быть равен нулю, то есть $c \neq 0$. Если $c = 0$, то функция становится линейной: $y = \frac{ax+b}{d} = \frac{a}{d}x + \frac{b}{d}$ (при $d \neq 0$).

2. Выражение $ad-bc$ не должно быть равно нулю, то есть $ad-bc \neq 0$. Это условие гарантирует, что функция не является постоянной. Если $ad-bc = 0$, то числитель пропорционален знаменателю. В этом случае дробь можно сократить, и функция становится константой $y = \frac{a}{c}$. Такой случай называют вырожденным.

Таким образом, дробно-линейная функция — это отношение двух линейных многочленов при условии, что знаменатель не является константой и числитель не пропорционален знаменателю. Название "дробно-линейная" как раз и отражает её структуру: это дробь, в числителе и знаменателе которой находятся линейные выражения.

Графиком дробно-линейной функции является гипербола. Эту гиперболу можно получить из графика простейшей функции $y = \frac{k}{x}$ с помощью параллельных переносов. У этой гиперболы всегда есть две асимптоты:
— вертикальная асимптота: $x = -\frac{d}{c}$ (значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль);
— горизонтальная асимптота: $y = \frac{a}{c}$ (предельное значение функции при $x \to \pm\infty$).

Ответ: Дробно-линейной функцией называют функцию, заданную формулой вида $y = \frac{ax+b}{cx+d}$, где $x$ — переменная, $a, b, c, d$ — некоторые числа, причем обязательно выполняются условия $c \neq 0$ и $ad-bc \neq 0$.