Номер 5.102, страница 155 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.102, страница 155.

Условие.

5.102° Что называют асимптотой кривой?

Решение 1.

Решение 4.

Асимптотой кривой (в частности, графика функции $y = f(x)$) называют прямую, обладающую свойством, что расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю, когда точка, двигаясь по кривой, неограниченно удаляется от начала координат.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты

Прямая вида $x = a$ называется вертикальной асимптотой графика функции $y = f(x)$, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке $a$ равен бесконечности. Математически это условие записывается так:

$\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty$ (или $-\infty$) или $\lim_{x \to a^-} f(x) = \infty$ (или $-\infty$).

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции. Например, для рациональных дробей — это точки, в которых знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля.

Пример: Для функции $f(x) = \frac{1}{x-3}$ прямая $x = 3$ является вертикальной асимптотой, поскольку при $x \to 3$ знаменатель стремится к нулю, а функция — к бесконечности.

Горизонтальные асимптоты

Прямая вида $y = L$ называется горизонтальной асимптотой графика функции $y = f(x)$ при $x \to +\infty$ (или $x \to -\infty$), если предел функции при стремлении $x$ к соответствующей бесконечности равен конечному числу $L$.

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ или $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$.

График функции может иметь не более двух горизонтальных асимптот: одну при $x \to +\infty$ и другую при $x \to -\infty$.

Пример: Для функции $f(x) = \frac{3x^2 - 2}{x^2 + 1}$ прямая $y = 3$ является горизонтальной асимптотой, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 2}{x^2 + 1} = 3$.

Наклонные асимптоты

Прямая вида $y = kx + b$ (где $k \neq 0$) называется наклонной асимптотой графика функции $y = f(x)$ при $x \to +\infty$ (или $x \to -\infty$), если выполняется условие:

$\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - (kx + b)) = 0$.

Коэффициенты $k$ и $b$ для наклонной асимптоты находятся с помощью пределов:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)$

Для существования наклонной асимптоты необходимо, чтобы оба предела существовали, были конечными, и коэффициент $k$ был отличен от нуля. Если $k=0$, то асимптота является горизонтальной.

Пример: Для функции $f(x) = \frac{2x^3 + 3x^2 + 1}{x^2 + 1}$ найдем наклонную асимптоту.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x^2 + 1}{x(x^2 + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x^2 + 1}{x^3 + x} = 2$.

$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{2x^3 + 3x^2 + 1}{x^2 + 1} - 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x^2 + 1 - 2x(x^2+1)}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} = 3$.

Следовательно, прямая $y = 2x + 3$ является наклонной асимптотой.

Ответ: Асимптотой кривой называют прямую, к которой точки кривой неограниченно приближаются при удалении в бесконечность. Асимптоты бывают трех видов: вертикальные (прямые вида $x=a$, к которым график стремится в точках разрыва), горизонтальные (прямые вида $y=L$, описывающие поведение функции на бесконечности) и наклонные (прямые вида $y=kx+b$, к которым график функции приближается на бесконечности).