Номер 5.96, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.96, страница 148.

Условие.

5.96 Из круглого бревна диаметра $d$ надо вырезать балку прямоугольного сечения с основанием $a$ и высотой $h$ (см. рис. 129). При каких значениях $a$ и $h$ прочность балки будет наибольшей, если известно, что прочность балки пропорциональна $ah^2$?

Рис. 129

Решение 1.

Решение 4.

Пусть $a$ – основание, а $h$ – высота прямоугольного сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром $d$. Прочность балки, обозначим ее $P$, по условию пропорциональна величине $ah^2$. Это можно записать в виде формулы $P = k \cdot ah^2$, где $k$ – это постоянный положительный коэффициент пропорциональности. Для того чтобы прочность $P$ была наибольшей, нам необходимо найти максимум функции $f(a, h) = ah^2$.

Прямоугольное сечение балки с основанием $a$ и высотой $h$ вписано в окружность диаметром $d$, которая является поперечным сечением бревна. Из рисунка видно, что диагональ этого прямоугольника совпадает с диаметром бревна $d$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами $a$, $h$ и диагональю $d$, справедливо следующее соотношение: $$a^2 + h^2 = d^2$$

Это уравнение является уравнением связи (ограничением) для переменных $a$ и $h$. Мы можем использовать его, чтобы выразить одну переменную через другую и свести задачу к нахождению максимума функции одной переменной. Выразим $h^2$ из уравнения связи: $$h^2 = d^2 - a^2$$ Поскольку $h$ – это высота, то $h > 0$, а значит и $h^2 > 0$. Отсюда следует, что $d^2 - a^2 > 0$, то есть $a^2 < d^2$. Учитывая, что $a$ как длина основания также должна быть положительной ($a > 0$), получаем область допустимых значений для $a$: $0 < a < d$.

Теперь подставим полученное выражение для $h^2$ в функцию, которую мы хотим максимизировать: $$f(a) = a(d^2 - a^2) = ad^2 - a^3$$

Найдем максимум функции $f(a)$ на интервале $(0, d)$. Для этого необходимо найти производную функции $f(a)$ по переменной $a$ и приравнять ее к нулю для определения критических точек. $$f'(a) = \frac{d}{da}(ad^2 - a^3) = d^2 - 3a^2$$

Приравняем производную к нулю: $$d^2 - 3a^2 = 0$$ $$3a^2 = d^2$$ $$a^2 = \frac{d^2}{3}$$ Так как $a > 0$, получаем: $$a = \sqrt{\frac{d^2}{3}} = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{d\sqrt{3}}{3}$$

Чтобы проверить, является ли найденная точка точкой максимума, воспользуемся второй производной: $$f''(a) = \frac{d}{da}(d^2 - 3a^2) = -6a$$ Поскольку в рассматриваемой области $a > 0$, значение второй производной $f''(a)$ всегда отрицательно. Это означает, что функция $f(a)$ является вогнутой на всей области определения, и, следовательно, найденная критическая точка является точкой максимума.

Теперь найдем соответствующее значение высоты $h$. Подставим найденное значение $a^2 = \frac{d^2}{3}$ в уравнение связи $h^2 = d^2 - a^2$: $$h^2 = d^2 - \frac{d^2}{3} = \frac{3d^2 - d^2}{3} = \frac{2d^2}{3}$$ Так как $h > 0$, получаем: $$h = \sqrt{\frac{2d^2}{3}} = \frac{d\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{d\sqrt{6}}{3}$$

Таким образом, прочность балки будет наибольшей, когда ее основание и высота будут равны найденным значениям.

Ответ: Прочность балки будет наибольшей при значениях $a = \frac{d\sqrt{3}}{3}$ и $h = \frac{d\sqrt{6}}{3}$.