Номер 5.93, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.93, страница 148.

Условие.

5.93 Парабола задана уравнением $y = 3 - x^2$. В неё вписан прямоугольник наибольшей площади так, чтобы одна его сторона лежала на оси $Ox$, а две вершины — на параболе (рис. 128). Определите стороны этого прямоугольника.

Рис. 128

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть одна из вершин прямоугольника, лежащая на параболе в первой координатной четверти, имеет координаты $(x, y)$, где $x > 0$.

Так как парабола $y = 3 - x^2$ симметрична относительно оси $Oy$, а одна из сторон прямоугольника лежит на оси $Ox$, то вершины прямоугольника будут иметь координаты $(x, 0)$, $(-x, 0)$, $(x, y)$ и $(-x, y)$.

Длина стороны прямоугольника, лежащей на оси $Ox$ (ширина), будет равна расстоянию между точками $x$ и $-x$, то есть $2x$.

Длина другой стороны (высота) будет равна ординате $y$.

Поскольку вершина с координатами $(x, y)$ лежит на параболе, ее координаты удовлетворяют уравнению параболы: $y = 3 - x^2$.

Площадь прямоугольника $S$ можно выразить как функцию от переменной $x$:

$S(x) = \text{ширина} \cdot \text{высота} = (2x) \cdot y = 2x(3 - x^2) = 6x - 2x^3$

Нам необходимо найти значение $x$, при котором площадь $S(x)$ будет максимальной. Определим область определения для $x$. Так как прямоугольник вписан в фигуру, ограниченную параболой и осью $Ox$, то $x$ должен быть положительным ($x>0$) и $y$ также должен быть положительным ($y>0$).

$y > 0 \Rightarrow 3 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 3 \Rightarrow -\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$.

С учетом условия $x > 0$, получаем, что $x$ изменяется в интервале $(0, \sqrt{3})$.

Для нахождения максимума функции $S(x)$ найдем ее производную по $x$:

$S'(x) = (6x - 2x^3)' = 6 - 6x^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$6 - 6x^2 = 0$

$6x^2 = 6$

$x^2 = 1$

Поскольку $x > 0$, выбираем корень $x = 1$. Эта точка принадлежит нашему интервалу $(0, \sqrt{3})$.

Чтобы убедиться, что $x=1$ является точкой максимума, можно исследовать знак производной. При $0 < x < 1$ производная $S'(x) = 6(1-x^2) > 0$ (функция возрастает), а при $1 < x < \sqrt{3}$ производная $S'(x) < 0$ (функция убывает). Следовательно, в точке $x=1$ функция площади $S(x)$ достигает своего максимума.

Теперь найдем стороны прямоугольника:

Ширина: $2x = 2 \cdot 1 = 2$.

Высота: $y = 3 - x^2 = 3 - 1^2 = 2$.

Таким образом, прямоугольник наибольшей площади является квадратом со стороной 2.

Ответ: стороны прямоугольника равны 2 и 2.