Номер 5.94, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.94, страница 148.

Условие.

5.94 a) Среди всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой $c$ найдите тот, площадь которого наибольшая.

б) Докажите, что прямоугольник с данной диагональю $d$ имеет наибольшую площадь, если он квадрат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. По теореме Пифагора для этого треугольника выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$.

Для нахождения треугольника с наибольшей площадью можно использовать разные подходы. Рассмотрим решение через тригонометрию.

Пусть $\alpha$ — один из острых углов треугольника. Тогда его катеты можно выразить через гипотенузу $c$ и этот угол: прилежащий катет равен $c \cos\alpha$, а противолежащий — $c \sin\alpha$. Для определённости, пусть $a = c \sin\alpha$ и $b = c \cos\alpha$.

Подставим эти выражения в формулу для площади:

$S = \frac{1}{2} (c \sin\alpha)(c \cos\alpha) = \frac{1}{2} c^2 \sin\alpha \cos\alpha$.

Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла, $2\sin\alpha \cos\alpha = \sin(2\alpha)$, преобразуем выражение для площади:

$S(\alpha) = \frac{1}{2} c^2 \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{2} = \frac{c^2}{4}\sin(2\alpha)$.

Поскольку длина гипотенузы $c$ — это заданная постоянная величина, площадь $S$ является функцией только от угла $\alpha$. В прямоугольном треугольнике острый угол $\alpha$ может принимать значения в интервале $(0, 90^\circ)$, то есть $0 < \alpha < \pi/2$.

Функция $\sin(2\alpha)$ достигает своего максимального значения, равного 1, когда её аргумент $2\alpha = 90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан). Отсюда находим значение угла $\alpha$, при котором площадь максимальна: $\alpha = 45^\circ$.

Если один острый угол прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, то и второй острый угол также равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Треугольник с равными углами при основании является равнобедренным, а значит, его катеты равны ($a=b$).

Таким образом, среди всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный прямоугольный треугольник.

Ответ: Наибольшую площадь имеет равнобедренный прямоугольный треугольник.

б)

Рассмотрим прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ и данной диагональю $d$. Диагональ делит этот прямоугольник на два конгруэнтных (равных) прямоугольных треугольника.

Стороны прямоугольника $a$ и $b$ являются катетами этих треугольников, а диагональ $d$ — их общей гипотенузой. Для этих треугольников выполняется теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = d^2$.

Площадь прямоугольника равна $S_{прямоуг} = ab$. Площадь каждого из двух прямоугольных треугольников равна $S_{треуг} = \frac{1}{2}ab$. Следовательно, площадь прямоугольника равна удвоенной площади одного из этих треугольников: $S_{прямоуг} = 2 \cdot S_{треуг}$.

Чтобы площадь прямоугольника была наибольшей при заданной диагонали $d$, необходимо, чтобы была наибольшей площадь составляющих его прямоугольных треугольников с гипотенузой $d$.

Из решения пункта а) известно, что среди всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник. Для такого треугольника катеты равны.

В нашем случае катеты — это стороны прямоугольника $a$ и $b$. Следовательно, для достижения максимальной площади должно выполняться условие $a = b$. Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом.

Таким образом, мы доказали, что из всех прямоугольников с данной диагональю $d$ наибольшую площадь имеет квадрат.

Ответ: Утверждение доказано.