Номер 5.94, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.94, страница 148.
№5.94 (с. 148)
Условие. №5.94 (с. 148)
скриншот условия

5.94 a) Среди всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой $c$ найдите тот, площадь которого наибольшая.
б) Докажите, что прямоугольник с данной диагональю $d$ имеет наибольшую площадь, если он квадрат.
Решение 1. №5.94 (с. 148)


Решение 2. №5.94 (с. 148)

Решение 3. №5.94 (с. 148)


Решение 4. №5.94 (с. 148)
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. По теореме Пифагора для этого треугольника выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$.
Для нахождения треугольника с наибольшей площадью можно использовать разные подходы. Рассмотрим решение через тригонометрию.
Пусть $\alpha$ — один из острых углов треугольника. Тогда его катеты можно выразить через гипотенузу $c$ и этот угол: прилежащий катет равен $c \cos\alpha$, а противолежащий — $c \sin\alpha$. Для определённости, пусть $a = c \sin\alpha$ и $b = c \cos\alpha$.
Подставим эти выражения в формулу для площади:
$S = \frac{1}{2} (c \sin\alpha)(c \cos\alpha) = \frac{1}{2} c^2 \sin\alpha \cos\alpha$.
Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла, $2\sin\alpha \cos\alpha = \sin(2\alpha)$, преобразуем выражение для площади:
$S(\alpha) = \frac{1}{2} c^2 \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{2} = \frac{c^2}{4}\sin(2\alpha)$.
Поскольку длина гипотенузы $c$ — это заданная постоянная величина, площадь $S$ является функцией только от угла $\alpha$. В прямоугольном треугольнике острый угол $\alpha$ может принимать значения в интервале $(0, 90^\circ)$, то есть $0 < \alpha < \pi/2$.
Функция $\sin(2\alpha)$ достигает своего максимального значения, равного 1, когда её аргумент $2\alpha = 90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан). Отсюда находим значение угла $\alpha$, при котором площадь максимальна: $\alpha = 45^\circ$.
Если один острый угол прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, то и второй острый угол также равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Треугольник с равными углами при основании является равнобедренным, а значит, его катеты равны ($a=b$).
Таким образом, среди всех прямоугольных треугольников с данной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный прямоугольный треугольник.
Ответ: Наибольшую площадь имеет равнобедренный прямоугольный треугольник.
б)Рассмотрим прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ и данной диагональю $d$. Диагональ делит этот прямоугольник на два конгруэнтных (равных) прямоугольных треугольника.
Стороны прямоугольника $a$ и $b$ являются катетами этих треугольников, а диагональ $d$ — их общей гипотенузой. Для этих треугольников выполняется теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = d^2$.
Площадь прямоугольника равна $S_{прямоуг} = ab$. Площадь каждого из двух прямоугольных треугольников равна $S_{треуг} = \frac{1}{2}ab$. Следовательно, площадь прямоугольника равна удвоенной площади одного из этих треугольников: $S_{прямоуг} = 2 \cdot S_{треуг}$.
Чтобы площадь прямоугольника была наибольшей при заданной диагонали $d$, необходимо, чтобы была наибольшей площадь составляющих его прямоугольных треугольников с гипотенузой $d$.
Из решения пункта а) известно, что среди всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник. Для такого треугольника катеты равны.
В нашем случае катеты — это стороны прямоугольника $a$ и $b$. Следовательно, для достижения максимальной площади должно выполняться условие $a = b$. Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом.
Таким образом, мы доказали, что из всех прямоугольников с данной диагональю $d$ наибольшую площадь имеет квадрат.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.94 расположенного на странице 148 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.94 (с. 148), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.