Номер 5.89, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.89, страница 145.

Условие.

5.89* Для каждого положительного значения b найдите наибольшее значение функции $f(x) = \frac{x+b}{\sqrt{x^2+1}}$ на отрезке [1; 2].

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = \frac{x + b}{\sqrt{x^2 + 1}}$ на отрезке $[1; 2]$ при заданном положительном параметре $b$, мы исследуем функцию на экстремумы внутри отрезка и сравним их со значениями на концах отрезка.

1. Нахождение производной и критических точек

Сначала найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$ с помощью правила дифференцирования частного $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$.

Пусть $u(x) = x+b$ и $v(x) = \sqrt{x^2+1}$. Тогда $u'(x) = 1$ и $v'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

$f'(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2 + 1} - (x+b) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{(\sqrt{x^2 + 1})^2} = \frac{\frac{(x^2+1) - x(x+b)}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \frac{x^2+1 - x^2 - bx}{(x^2+1)^{3/2}} = \frac{1-bx}{(x^2+1)^{3/2}}$

Критические точки находятся там, где производная равна нулю. Так как знаменатель $(x^2+1)^{3/2}$ всегда положителен, приравняем к нулю числитель:

$1 - bx = 0 \implies bx = 1 \implies x_0 = \frac{1}{b}$

Знак производной зависит от знака выражения $1-bx$. Если $x < 1/b$, то $f'(x)>0$ (функция возрастает), а если $x > 1/b$, то $f'(x)<0$ (функция убывает). Это означает, что $x_0 = 1/b$ является точкой локального максимума.

2. Анализ положения критической точки относительно отрезка $[1; 2]$

Наибольшее значение функции на отрезке зависит от того, попадает ли точка максимума $x_0 = 1/b$ в этот отрезок. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $x_0 < 1$ (критическая точка левее отрезка)

Это условие выполняется, когда $\frac{1}{b} < 1$, что для $b>0$ эквивалентно $b > 1$.
На всем отрезке $[1; 2]$ выполняется неравенство $x > 1/b$, следовательно, производная $f'(x) < 0$. Функция $f(x)$ монотонно убывает на $[1; 2]$.
Наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, в точке $x=1$:
$\max_{x \in [1;2]} f(x) = f(1) = \frac{1+b}{\sqrt{1^2+1}} = \frac{1+b}{\sqrt{2}}$

Случай 2: $x_0 > 2$ (критическая точка правее отрезка)

Это условие выполняется, когда $\frac{1}{b} > 2$, что для $b>0$ эквивалентно $0 < b < 1/2$.
На всем отрезке $[1; 2]$ выполняется неравенство $x < 1/b$, следовательно, производная $f'(x) > 0$. Функция $f(x)$ монотонно возрастает на $[1; 2]$.
Наибольшее значение достигается на правом конце отрезка, в точке $x=2$:
$\max_{x \in [1;2]} f(x) = f(2) = \frac{2+b}{\sqrt{2^2+1}} = \frac{2+b}{\sqrt{5}}$

Случай 3: $1 \le x_0 \le 2$ (критическая точка внутри или на границе отрезка)

Это условие выполняется, когда $1 \le \frac{1}{b} \le 2$. Решая это двойное неравенство для $b>0$, получаем $\frac{1}{2} \le b \le 1$.
Поскольку точка максимума находится на отрезке $[1; 2]$, наибольшее значение функция принимает именно в этой точке $x_0 = 1/b$:
$\max_{x \in [1;2]} f(x) = f\left(\frac{1}{b}\right) = \frac{\frac{1}{b}+b}{\sqrt{(\frac{1}{b})^2+1}} = \frac{\frac{1+b^2}{b}}{\sqrt{\frac{1+b^2}{b^2}}} = \frac{\frac{1+b^2}{b}}{\frac{\sqrt{1+b^2}}{b}} = \sqrt{1+b^2}$

Итог

Объединяя все случаи, получаем зависимость наибольшего значения функции $M(b)$ от параметра $b$. Проверим значения на границах интервалов:
При $b=1/2$, случай 2 дает $\frac{2+1/2}{\sqrt{5}}=\frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Случай 3 дает $\sqrt{1+(1/2)^2}=\sqrt{5/4}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Значения совпадают.
При $b=1$, случай 1 дает $\frac{1+1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$. Случай 3 дает $\sqrt{1+1^2}=\sqrt{2}$. Значения совпадают.

Таким образом, мы можем записать итоговый результат.

Ответ:

Наибольшее значение функции на отрезке $[1; 2]$ в зависимости от значения $b > 0$ равно:$\max_{x \in [1;2]} f(x) =\begin{cases}\frac{2+b}{\sqrt{5}}, & \text{если } 0 < b \le \frac{1}{2} \\\sqrt{1+b^2}, & \text{если } \frac{1}{2} < b < 1 \\\frac{1+b}{\sqrt{2}}, & \text{если } b \ge 1\end{cases}$