Номер 5.88, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.88, страница 145.

Условие.

5.88 Для каждого значения b найдите:

а) наименьшее значение функции $f(x) = (x - b)^2$ на отрезке $[-1; 1];$

б) наибольшее значение функции $f(x) = (x - b)^2$ на отрезке $[-1; 1].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Данная функция $f(x) = (x-b)^2$ является параболой, ветви которой направлены вверх. Вершина этой параболы находится в точке с абсциссой $x=b$, и значение функции в этой точке равно $f(b) = (b-b)^2=0$. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений на отрезке $[-1; 1]$ необходимо проанализировать положение вершины параболы ($x=b$) относительно этого отрезка.

а) наименьшее значение функции $f(x) = (x-b)^2$ на отрезке [-1; 1];

Поскольку $f(x) = (x-b)^2 \ge 0$ для всех $x$, наименьшее значение функции, равное 0, достигается в ее вершине, то есть при $x=b$. Решение зависит от положения этой вершины относительно отрезка $[-1; 1]$.

1. Если вершина параболы принадлежит отрезку $[-1; 1]$, то есть $-1 \le b \le 1$, то наименьшее значение функции на этом отрезке достигается в точке $x=b$ и равно $f(b) = 0$.

2. Если вершина параболы находится левее отрезка, то есть $b < -1$, то на всём отрезке $[-1; 1]$ функция $f(x)$ монотонно возрастает. Следовательно, её наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, в точке $x=-1$. Это значение равно $f(-1) = (-1-b)^2 = (b+1)^2$.

3. Если вершина параболы находится правее отрезка, то есть $b > 1$, то на всём отрезке $[-1; 1]$ функция $f(x)$ монотонно убывает. Следовательно, её наименьшее значение достигается на правом конце отрезка, в точке $x=1$. Это значение равно $f(1) = (1-b)^2$.

Ответ: если $b < -1$, то наименьшее значение равно $(b+1)^2$; если $-1 \le b \le 1$, то наименьшее значение равно 0; если $b > 1$, то наименьшее значение равно $(1-b)^2$.

б) наибольшее значение функции $f(x) = (x-b)^2$ на отрезке [-1; 1].

Наибольшее значение функции, график которой — парабола с ветвями вверх, на замкнутом отрезке всегда достигается на одном из его концов. Поэтому необходимо сравнить значения функции в точках $x=-1$ и $x=1$.

Значения на концах отрезка:
$f(-1) = (-1-b)^2 = (b+1)^2$
$f(1) = (1-b)^2$

Наибольшим будет значение на том конце отрезка, который наиболее удален от вершины $x=b$. Сравним значения $f(-1)$ и $f(1)$, чтобы определить, какое из них больше. Найдем, при каких значениях $b$ выполняется неравенство $f(-1) \ge f(1)$:
$(b+1)^2 \ge (1-b)^2$
$b^2 + 2b + 1 \ge b^2 - 2b + 1$
$4b \ge 0$
$b \ge 0$

Таким образом, если $b \ge 0$, то $f(-1) \ge f(1)$, и наибольшее значение равно $f(-1)=(b+1)^2$. Если же $b < 0$, то $f(1) > f(-1)$, и наибольшее значение равно $f(1)=(1-b)^2$.

Ответ: если $b < 0$, то наибольшее значение равно $(1-b)^2$; если $b \ge 0$, то наибольшее значение равно $(b+1)^2$.