Номер 5.82, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.82, страница 144.

Условие.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$ на указанном промежутке (5.82–5.85), если:

5.82 а) $f(x) = x + \frac{4}{x}$, $(0; +\infty);$

б) $f(x) = x + \frac{4}{x}$, $(-\infty; 0);$

в) $f(x) = 8x^2 - \frac{1}{4x}$, $(-\infty; 0);$

г) $f(x) = 8x^2 + \frac{1}{4x}$, $(0; +\infty).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $f(x) = x + \frac{4}{x}$ на промежутке $(0; +\infty)$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции найдем ее производную и критические точки.

1. Производная функции:
$f'(x) = (x + \frac{4}{x})' = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}$.

2. Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:
$f'(x) = 0 \implies \frac{x^2 - 4}{x^2} = 0$.
Так как $x \neq 0$, то $x^2 - 4 = 0$, откуда $x = 2$ или $x = -2$.

3. Заданному промежутку $(0; +\infty)$ принадлежит только одна критическая точка $x = 2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые точка $x=2$ разбивает область определения:
- На интервале $(0; 2)$, например, при $x=1$, $f'(1) = 1 - \frac{4}{1^2} = -3 < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(2; +\infty)$, например, при $x=4$, $f'(4) = 1 - \frac{4}{4^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0$, следовательно, функция возрастает.

Таким образом, в точке $x=2$ функция имеет минимум. Это единственная точка экстремума на промежутке, поэтому в ней достигается наименьшее значение функции.
$f_{min} = f(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4$.

5. Найдем пределы функции на границах промежутка:
$\lim_{x \to 0^+} (x + \frac{4}{x}) = 0 + \infty = +\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} (x + \frac{4}{x}) = \infty + 0 = +\infty$.
Поскольку функция стремится к $+\infty$ на границах промежутка, наибольшего значения она не имеет.

Ответ: наименьшее значение функции равно 4, наибольшего значения не существует.

б) $f(x) = x + \frac{4}{x}$ на промежутке $(-\infty; 0)$

1. Производная функции и критические точки такие же, как в пункте а):
$f'(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2}$, критические точки $x = 2$ и $x = -2$.

2. Заданному промежутку $(-\infty; 0)$ принадлежит только одна критическая точка $x = -2$.

3. Исследуем знак производной:
- На интервале $(-\infty; -2)$, например, при $x=-3$, $f'(-3) = 1 - \frac{4}{(-3)^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} > 0$, следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(-2; 0)$, например, при $x=-1$, $f'(-1) = 1 - \frac{4}{(-1)^2} = 1 - 4 = -3 < 0$, следовательно, функция убывает.

Таким образом, в точке $x=-2$ функция имеет максимум. Это единственная точка экстремума, поэтому в ней достигается наибольшее значение.
$f_{max} = f(-2) = -2 + \frac{4}{-2} = -2 - 2 = -4$.

4. Найдем пределы функции на границах промежутка:
$\lim_{x \to -\infty} (x + \frac{4}{x}) = -\infty + 0 = -\infty$.
$\lim_{x \to 0^-} (x + \frac{4}{x}) = 0 - \infty = -\infty$.
Поскольку функция стремится к $-\infty$ на границах, наименьшего значения она не имеет.

Ответ: наибольшее значение функции равно -4, наименьшего значения не существует.

в) $f(x) = 8x^2 - \frac{1}{4x}$ на промежутке $(-\infty; 0)$

1. Производная функции:
$f'(x) = (8x^2 - \frac{1}{4}x^{-1})' = 16x - \frac{1}{4}(-1)x^{-2} = 16x + \frac{1}{4x^2} = \frac{64x^3 + 1}{4x^2}$.

2. Критические точки: $f'(x) = 0 \implies 64x^3 + 1 = 0 \implies x^3 = -\frac{1}{64} \implies x = -\frac{1}{4}$.

3. Точка $x = -1/4$ принадлежит промежутку $(-\infty; 0)$.

4. Исследуем знак производной:
- На интервале $(-\infty; -1/4)$, например, при $x=-1$, $f'(-1) = 16(-1) + \frac{1}{4(-1)^2} = -16 + \frac{1}{4} < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-1/4; 0)$, например, при $x=-0.1$, $f'(-0.1) = 16(-0.1) + \frac{1}{4(-0.1)^2} = -1.6 + 25 > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -1/4$ функция имеет минимум, который является ее наименьшим значением на промежутке.
$f_{min} = f(-\frac{1}{4}) = 8(-\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4(-\frac{1}{4})} = 8(\frac{1}{16}) - \frac{1}{-1} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.

5. Пределы на границах:
$\lim_{x \to -\infty} (8x^2 - \frac{1}{4x}) = +\infty - 0 = +\infty$.
$\lim_{x \to 0^-} (8x^2 - \frac{1}{4x}) = 0 - (-\infty) = +\infty$.
Наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{3}{2}$, наибольшего значения не существует.

г) $f(x) = 8x^2 + \frac{1}{4x}$ на промежутке $(0; +\infty)$

1. Производная функции:
$f'(x) = (8x^2 + \frac{1}{4}x^{-1})' = 16x - \frac{1}{4x^2} = \frac{64x^3 - 1}{4x^2}$.

2. Критические точки: $f'(x) = 0 \implies 64x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = \frac{1}{64} \implies x = \frac{1}{4}$.

3. Точка $x = 1/4$ принадлежит промежутку $(0; +\infty)$.

4. Исследуем знак производной:
- На интервале $(0; 1/4)$, например, при $x=0.1$, $f'(0.1) = 1.6 - 25 < 0$, функция убывает.
- На интервале $(1/4; +\infty)$, например, при $x=1$, $f'(1) = 16 - 1/4 > 0$, функция возрастает.

В точке $x = 1/4$ функция имеет минимум, который является ее наименьшим значением на промежутке.
$f_{min} = f(\frac{1}{4}) = 8(\frac{1}{4})^2 + \frac{1}{4(\frac{1}{4})} = 8(\frac{1}{16}) + \frac{1}{1} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.

5. Пределы на границах:
$\lim_{x \to 0^+} (8x^2 + \frac{1}{4x}) = 0 + \infty = +\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} (8x^2 + \frac{1}{4x}) = +\infty + 0 = +\infty$.
Наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{3}{2}$, наибольшего значения не существует.