Номер 5.79, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.79, страница 144.

Условие.

5.79° Если на промежутке $I$ с концами $a$ и $b$ функция $f(x)$ непрерывна вместе со своей производной $f'(x)$ и $x_0$ — единственная её критическая точка на интервале $(a; b)$, то как определить, достигает ли функция в этой критической точке максимума (минимума) на этом промежутке?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для определения, достигает ли функция $f(x)$ своего максимума или минимума на промежутке $I$ в единственной критической точке $x_0$, необходимо выяснить, является ли эта точка точкой локального экстремума (максимума или минимума). Ключевым условием задачи является то, что $x_0$ — единственная критическая точка на интервале $(a, b)$.

Если непрерывная функция имеет на промежутке только одну точку локального экстремума, то этот локальный экстремум обязательно является и глобальным (абсолютным) экстремумом на этом промежутке. Это связано с тем, что производная $f'(x)$ (которая по условию непрерывна) обращается в ноль только в точке $x_0$ и, следовательно, сохраняет постоянный знак на интервалах $(a, x_0)$ и $(x_0, b)$. Это означает, что функция $f(x)$ строго монотонна на каждом из этих интервалов. Например, если $x_0$ — точка локального максимума, то функция возрастает на $(a, x_0)$ и убывает на $(x_0, b)$, и, следовательно, $f(x_0)$ является наибольшим значением на всем промежутке $I$. Аналогичное рассуждение справедливо и для минимума.

Таким образом, задача сводится к определению характера экстремума в точке $x_0$. Для этого можно использовать один из двух стандартных методов.

Способ 1: Проверка знака первой производной

Этот метод основан на первом достаточном условии экстремума. Необходимо исследовать знак производной $f'(x)$ в точках, расположенных слева и справа от $x_0$. Для этого выбирают две произвольные точки: $c_1$ такую, что $a < c_1 < x_0$, и $c_2$ такую, что $x_0 < c_2 < b$.

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то есть $f'(c_1) > 0$ и $f'(c_2) < 0$, то $x_0$ является точкой локального максимума. Следовательно, в этой точке функция достигает своего максимума на всем промежутке $I$.
• Если производная меняет знак с минуса на плюс, то есть $f'(c_1) < 0$ и $f'(c_2) > 0$, то $x_0$ является точкой локального минимума. Следовательно, в этой точке функция достигает своего минимума на всем промежутке $I$.
• Если производная не меняет знак при переходе через точку $x_0$ (например, $f'(c_1) > 0$ и $f'(c_2) > 0$), то в точке $x_0$ экстремума нет. В этом случае функция монотонна на всем промежутке, и ее экстремумы (если они существуют) достигаются на концах промежутка $a$ и $b$.

Способ 2: Проверка знака второй производной

Если функция $f(x)$ имеет вторую производную $f''(x)$, можно использовать второй достаточный признак экстремума. Для этого нужно найти вторую производную и определить ее знак в точке $x_0$.

• Если $f''(x_0) < 0$, то $x_0$ является точкой локального максимума. Следовательно, в этой точке функция достигает своего максимума на всем промежутке $I$.
• Если $f''(x_0) > 0$, то $x_0$ является точкой локального минимума. Следовательно, в этой точке функция достигает своего минимума на всем промежутке $I$.
• Если $f''(x_0) = 0$, то этот признак не дает ответа о характере критической точки, и следует использовать первый способ.

Ответ: Чтобы определить, достигает ли функция в своей единственной критической точке $x_0$ максимума или минимума на данном промежутке, нужно установить характер этой точки (является ли она точкой локального максимума или минимума). Если $x_0$ — точка локального максимума, то она является и точкой абсолютного максимума на всем промежутке. Если $x_0$ — точка локального минимума, то она является и точкой абсолютного минимума на всем промежутке. Характер точки $x_0$ можно определить либо по знаку производной $f'(x)$ слева и справа от нее, либо по знаку второй производной $f''(x_0)$.