Номер 5.77, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.77, страница 140.
№5.77 (с. 140)
Условие. №5.77 (с. 140)
скриншот условия

5.77 Верно ли, что если в некоторой точке вторая производная функции $y = f(x)$ равна нулю, то эта точка является точкой перегиба графика функции $y = f(x)$?
Решение 1. №5.77 (с. 140)

Решение 2. №5.77 (с. 140)

Решение 4. №5.77 (с. 140)
Нет, данное утверждение неверно.
Равенство второй производной нулю в некоторой точке является необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы эта точка была точкой перегиба.
Точка перегиба – это точка на графике функции, в которой меняется направление выпуклости (с выпуклости вверх на выпуклость вниз или наоборот). Для того чтобы точка $x_0$ была точкой перегиба, необходимо, чтобы вторая производная $f''(x)$ в этой точке была равна нулю (или не существовала) и, что самое главное, меняла свой знак при переходе через эту точку.
Рассмотрим контрпример: функцию $y = f(x) = x^4$.
1. Найдем первую и вторую производные этой функции:
Первая производная: $f'(x) = (x^4)' = 4x^3$.
Вторая производная: $f''(x) = (4x^3)' = 12x^2$.
2. Найдем точку, в которой вторая производная равна нулю:
$f''(x) = 0 \implies 12x^2 = 0 \implies x = 0$.
3. Исследуем знак второй производной в окрестности точки $x = 0$:
При $x < 0$, например, $x = -1$, имеем $f''(-1) = 12(-1)^2 = 12 > 0$. Следовательно, на интервале $(-\infty, 0)$ график функции выпуклый вниз (вогнутый).
При $x > 0$, например, $x = 1$, имеем $f''(1) = 12(1)^2 = 12 > 0$. Следовательно, на интервале $(0, \infty)$ график функции также выпуклый вниз (вогнутый).
Поскольку при переходе через точку $x = 0$ вторая производная не меняет свой знак ($f''(x) \ge 0$ для всех $x$), направление выпуклости графика не изменяется. Таким образом, точка $x = 0$ не является точкой перегиба для функции $y = x^4$, хотя вторая производная в этой точке равна нулю. В этой точке функция имеет минимум.
Ответ: Нет, неверно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.77 расположенного на странице 140 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.77 (с. 140), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.