Номер 5.77, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.77, страница 140.

Условие.

5.77 Верно ли, что если в некоторой точке вторая производная функции $y = f(x)$ равна нулю, то эта точка является точкой перегиба графика функции $y = f(x)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Нет, данное утверждение неверно.

Равенство второй производной нулю в некоторой точке является необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы эта точка была точкой перегиба.

Точка перегиба – это точка на графике функции, в которой меняется направление выпуклости (с выпуклости вверх на выпуклость вниз или наоборот). Для того чтобы точка $x_0$ была точкой перегиба, необходимо, чтобы вторая производная $f''(x)$ в этой точке была равна нулю (или не существовала) и, что самое главное, меняла свой знак при переходе через эту точку.

Рассмотрим контрпример: функцию $y = f(x) = x^4$.

1. Найдем первую и вторую производные этой функции:
Первая производная: $f'(x) = (x^4)' = 4x^3$.
Вторая производная: $f''(x) = (4x^3)' = 12x^2$.

2. Найдем точку, в которой вторая производная равна нулю:
$f''(x) = 0 \implies 12x^2 = 0 \implies x = 0$.

3. Исследуем знак второй производной в окрестности точки $x = 0$:
При $x < 0$, например, $x = -1$, имеем $f''(-1) = 12(-1)^2 = 12 > 0$. Следовательно, на интервале $(-\infty, 0)$ график функции выпуклый вниз (вогнутый).
При $x > 0$, например, $x = 1$, имеем $f''(1) = 12(1)^2 = 12 > 0$. Следовательно, на интервале $(0, \infty)$ график функции также выпуклый вниз (вогнутый).

Поскольку при переходе через точку $x = 0$ вторая производная не меняет свой знак ($f''(x) \ge 0$ для всех $x$), направление выпуклости графика не изменяется. Таким образом, точка $x = 0$ не является точкой перегиба для функции $y = x^4$, хотя вторая производная в этой точке равна нулю. В этой точке функция имеет минимум.

Ответ: Нет, неверно.